이 실험 소개
전개도는 평평한 모양을 접어 3D 입체로 만들 수 있는 도형입니다. 납작하게 펼친 시리얼 상자처럼요. 정육면체, 삼각기둥, 사각뿔 또는 정사면체의 전개도를 골라 테이블 위에서 한 번에 또는 한 면씩 접어 보세요. 장면을 돌려 모든 모서리가 짝이 되는 모서리와 만나는지 살펴보세요. 정육면체가 될 것처럼 보이지만 실제로는 되지 않는 전개도가 하나 있습니다. 접어 보고 무엇이 잘못되는지 확인해 보세요.
학습 목표
- 정육면체, 각기둥, 각뿔의 전개도 알아보기
- 정사각형 6개로 이루어진 전개도를 접으면 정육면체가 되는지 예측하세요
- 입체도형의 면, 모서리, 꼭짓점의 개수를 세고 F + V - E = 2가 성립하는지 확인하세요
- 전개도의 넓이로 입체도형의 겉넓이를 구하세요
- 입체도형의 부피와 모서리 길이의 관계를 알아보세요
사용 방법
- 1‘정육면체: 십자형 전개도’를 선택하고 ‘접기’를 누르세요. 마지막에 위쪽에 놓이는 면은 무엇인가요?
- 2‘한 번에 한 면씩 접기’를 켜고 다시 접어 보세요. 한 면은 자신이 붙어 있는 면을 접은 다음에야 접을 수 있다는 점에 주목하세요.
- 3‘정육면체: 계단형 전개도’를 선택하세요. 접기 전에 어떤 정사각형들이 서로 마주 보는 면이 될지 예측한 다음, 접어서 확인하세요.
- 4‘이것은 정육면체의 전개도인가요?’를 선택하고 답을 예측하세요. 완전히 접은 다음 어떤 면이 주황색으로 바뀌는지 살펴보세요.
- 5각기둥, 각뿔, 사면체를 접어 보세요. 각각 F, V, E를 기록하고 F + V - E를 계산하세요.
- 6모서리 길이를 3 cm로 설정하세요. 전개도의 정사각형 넓이를 모두 더해 정육면체의 겉넓이를 확인하세요.
모델
가정
- 모든 면은 정다각형입니다. 각기둥은 밑변과 길이가 같은 변을 가진 정삼각형 밑면과, 밑면의 한 변보다 1.5배 긴 변을 가진 직사각형 옆면으로 이루어져 있습니다. 각뿔과 사면체의 면은 모두 정삼각형입니다.
- 면은 변형되지 않고 두께도 없습니다. 접는 선은 전개도에서 서로 맞닿는 면들의 공통 변을 따라 있습니다.
- 각 면은 완성된 입체에서 이웃한 면 사이의 각을 180°에서 뺀 각도만큼 접습니다. 정육면체는 90°, 사면체는 약 109.5°, 각뿔은 약 125.3°입니다.
수업에서 해 보기
- Q1정육면체의 전개도는 서로 다른 11가지가 있습니다. 여기에 제시되지 않은 전개도를 세 가지 그려 보세요.
- Q2정육면체의 전개도에서 정사각형 네 개가 한 줄로 놓이고 나머지 두 정사각형이 모두 같은 쪽에 붙는 경우가 왜 있을 수 없을까요?
- Q3주사위에서는 마주 보는 면의 숫자를 더하면 7입니다. 십자 모양 전개도에 숫자를 써넣어 올바른 주사위가 되게 하세요.
- Q4육각기둥의 면, 모서리, 꼭짓점은 각각 몇 개일까요? 오일러 공식은 여전히 성립할까요?
- Q5정육면체의 모서리 길이를 두 배로 하면 겉넓이와 부피는 어떻게 될까요?
자주 묻는 질문
정사각형 여섯 개가 정육면체의 전개도를 이루는지 어떻게 알 수 있나요?
네 칸이 한 줄로 이어진 부분을 찾으세요. 그런 줄이 있다면 나머지 두 정사각형은 그 줄을 사이에 두고 서로 반대쪽에 있어야 합니다. 또한 정육면체 전개도에는 2 × 2 정사각형 블록이 절대 포함되지 않습니다. 확신이 서지 않으면 한 면씩 머릿속으로 접어 보세요.
피라미드는 왜 90°보다 더 많이 접히나요?
삼각형의 꼭짓점들이 밑면의 가운데 위에서 만날 때까지 안쪽으로 기울여야 합니다. 정삼각형의 경우, 평면 전개도에서 각 삼각형을 약 125° 돌리면 꼭짓점들이 만납니다.
포장재 전개도도 같은 방식으로 작동하나요?
네. 다만 한 가지 세부 사항이 더 있습니다. 실제 상자에는 면을 붙이거나 끼워 넣을 수 있도록 일부 모서리를 따라 작은 덮개(접착 날개)가 달려 있습니다.