关于此实验
展开图是一种平面图形，折叠后可以变成立体，就像摊平的麦片盒。选择正方体、三棱柱、四棱锥或正四面体的展开图，在桌面上一次性折叠，或者一次折叠一个面。转动场景，观察每条边如何与对应的边相接。有一个展开图看起来能折成正方体，实际上却不能：折一折，看看问题出在哪里。
学习目标
- 识别正方体、棱柱和棱锥的展开图
- 预测由六个正方形组成的图案折叠后能否形成一个立方体
- 数一数立体图形的面、棱和顶点，并验证 F + V - E = 2
- 根据立体图形展开图的面积求出它的表面积
- 了解立体图形的体积与棱长之间的关系
使用方法
- 1选择“立方体：十字形展开图”，然后按“折叠”。最后哪一个面会朝上？
- 2开启“一次折叠一个面”，再折叠一次。注意：只有先折叠与某个面相连的面，才能折叠该面。
- 3选择“立方体：阶梯形展开图”。折叠前，预测哪些正方形会成为相对的面，然后折叠验证。
- 4选择“这是立方体的展开图吗？”，并预测答案。将它完全折叠起来，看看哪些面会变成橙色。
- 5折叠棱柱、棱锥和四面体。分别记录 F、V 和 E，并计算 F + V - E。
- 6将棱长设为 3 cm。把展开图中各个正方形的面积相加，检验立方体的表面积。
模型
假设
- 每个面都是正多边形：棱柱的底面是等边三角形，侧面是长方形，其边长是底边长的1.5倍；棱锥和四面体的面都是等边三角形。
- 面是刚性的，没有厚度；折痕沿着展开图中相邻面的公共边。
- 每个面折叠的角度等于180°减去成形后相邻两个面之间的夹角：立方体为90°，四面体约为109.5°，棱锥约为125.3°。
在课堂上试试这个实验
- Q1立方体有11种不同的展开图。请画出这里没有展示的三种。
- Q2为什么立方体的展开图不可能有四个正方形排成一行，且另外两个正方形都在同一侧？
- Q3骰子相对两面的点数之和为7。请在十字形展开图上标上数字，使它折叠后成为一个标准骰子。
- Q4六棱柱有多少个面、棱和顶点？欧拉公式仍然成立吗？
- Q5如果把立方体的棱长加倍，它的表面积和体积会怎样变化？
常见问题
怎样判断六个正方形能否组成一个立方体的展开图？
找出四个方格连成一排的情况：如果有这样的一排，另外两个正方形必须分别位于这一排的两侧。此外，立方体的展开图绝不会包含一个 2 × 2 的正方形块。拿不准时，就在脑海中一次折叠一个面。
为什么金字塔要折过90°以上？
三角形必须向内倾斜，直到它们的顶点在底面中央上方相遇。对于等边三角形，从平面展开图开始，每个三角形旋转约125°时，顶点就会相遇。
包装盒的展开图也是同样的原理吗？
是的，不过还有一个细节：真实的盒子在一些边上有小翻片（插舌），便于粘合或插入各个面。