この実験について
展開図とは、平らな形を折りたたんで立体にできるものです。たとえば、開いて平らにしたシリアルの箱のようなものです。立方体、三角柱、四角錐、正四面体の展開図を選び、テーブルの上で一度に、または面を1つずつ折りたたんでみましょう。シーンを回して、すべての辺が対応する辺とぴったり合う様子を見てください。立方体になりそうで実はならない展開図が1つあります。折りたたんで、何が起こるか確かめましょう。
学習目標
- 立方体、角柱、角錐の展開図を見分ける
- 6つの正方形からなる展開図を折ると立方体になるか予想しましょう
- 立体の面、辺、頂点の数を数え、F + V - E = 2 が成り立つか確かめましょう
- 展開図の面積から立体の表面積を求めましょう
- 立体の体積と辺の長さの関係を調べましょう
使い方
- 1「立方体：十字形の展開図」を選び、「折りたたむ」を押しましょう。最後に上になる面はどれですか？
- 2「一度に1つの面だけを折りたたむ」をオンにして、もう一度折りたたみましょう。面は、それがつながっている面を折りたたんだ後でないと折りたためないことに注目しましょう。
- 3「立方体：階段形の展開図」を選びましょう。折りたたむ前に、どの正方形が向かい合う面になるか予想し、折りたたんで確かめましょう。
- 4「これは立方体の展開図ですか？」を選び、答えを予想しましょう。完全に折りたたみ、どの面がオレンジ色になるか見てみましょう。
- 5角柱、角錐、四面体を折りたたみましょう。それぞれについて F、V、E を記録し、F + V - E を計算しましょう。
- 6辺の長さを3 cmに設定しましょう。展開図の正方形の面積を合計して、立方体の表面積を確かめましょう。
モデル
前提条件
- すべての面は正多角形です。角柱は底辺と同じ長さの辺をもつ正三角形の底面と、底辺の辺の長さの1.5倍の長さの辺をもつ長方形の側面でできています。角錐と四面体の面はすべて正三角形です。
- 面は変形せず、厚みもありません。折り目は展開図で隣り合う面の共有辺にあります。
- それぞれの面は、完成した立体の隣り合う面どうしのなす角を180°から引いた角度だけ折り曲げます。立方体では90°、四面体では約109.5°、角錐では約125.3°です。
授業で試してみましょう
- Q1立方体の展開図は11種類あります。ここに示されていないものを3つ描いてみましょう。
- Q2立方体の展開図で、正方形が4つ一列に並び、残りの2つの正方形がどちらも同じ側につくことがないのはなぜでしょうか？
- Q3さいころでは、向かい合う面の数字を足すと7になります。十字形の展開図に数字を書き込んで、正しいさいころになるようにしましょう。
- Q4六角柱の面、辺、頂点はそれぞれいくつありますか？ オイラーの公式は成り立つでしょうか？
- Q5立方体の辺の長さを2倍にすると、表面積と体積はどうなりますか？
よくある質問
6つの正方形が立方体の展開図になるかどうかは、どうすればわかりますか？
4マスが一列に並んでいるものを探してください。そうした列がある場合、残りの2つの正方形はその列を挟んで反対側にあるはずです。また、立方体の展開図には2×2の正方形のブロックは決して含まれません。迷ったら、面を一つずつ頭の中で折りたたんでみてください。
なぜピラミッドは90°を超えて折り曲がるのですか？
三角形の頂点が底面の中央の上で合わさるまで、内側に傾ける必要があります。正三角形の場合、平らな展開図からそれぞれの三角形を約125°回転させると、頂点が合います。
包装材の展開図も同じ仕組みですか？
はい。ただし、もう一つ細かい点があります。実際の箱には、面を接着したり差し込んだりできるように、一部の辺に小さなフラップ（差し込みタブ）が付いています。