이 실험 소개
이중 원뿔을 평평한 면으로 자르면 원, 타원, 포물선 또는 쌍곡선이 나옵니다. 이 네 곡선은 행성의 궤도, 위성 안테나, 자동차 헤드라이트, 혜성의 궤도에서도 나타납니다. 이들을 하나로 묶는 것은 이심률 e라는 하나의 수입니다. 곡선 위의 모든 점은 고정된 점인 초점에서의 거리가 고정된 직선인 준선에서의 거리의 e배입니다. e를 0에서 2까지 움직이고, 곡선을 따라 점을 움직여 거리를 확인해 보세요.
학습 목표
- 초점, 준선, 이심률을 이용해 원뿔곡선을 정의한다
- 이심률을 바탕으로 원뿔곡선이 원, 타원, 포물선, 쌍곡선 중 무엇인지 분류한다
- 타원과 쌍곡선의 두 초점 성질을 이용한다
- 원뿔곡선의 방정식을 표준형으로 쓰고 a, b, c를 구한다
- 각 원뿔곡선과 평면이 원뿔을 자르는 각도의 관계를 설명한다
사용 방법
- 1‘P 움직이기’를 눌러 타원 위를 따라 P를 움직여 보세요. PF ÷ PD를 살펴보세요. 값이 변하나요?
- 2PF + PF′를 살펴보세요. 타원 위의 어느 점에서나 왜 값이 같을까요? 2a와 비교해 보세요.
- 3e를 천천히 1에 가깝게 늘려 보세요. 타원의 먼 쪽 끝은 어떻게 되나요? 두 번째 초점은 어디에 있나요?
- 4e = 1로 설정하세요. 모든 점에서 초점까지의 거리와 준선까지의 거리가 같은지 확인하세요.
- 5e를 1보다 크게 늘려 보세요. 곡선의 가지는 몇 개 있나요? |PF - PF′|를 확인하세요.
- 6e를 바꾸면서 원뿔 그림을 살펴보세요. 평면의 각도와 곡선의 모양은 어떤 관계가 있나요?
모델
가정
- 초점 F는 원점에 있고, 준선은 직선 x = -p입니다. 표시된 방정식은 중심 또는 꼭짓점이 좌표평면에서 실제로 놓이는 위치에 오도록 평행 이동한 것입니다.
- e = 0인 경우는 초점을 중심으로 하고 반지름이 p인 원으로 취급합니다. 엄밀히 말하면 준선이 무한대로 멀어질 때의 극한이 원입니다.
- 그림의 원뿔의 반꼭지각은 60°이므로, 축과 각 β를 이루는 평면으로 자르면 e = cos β / cos 60°인 원뿔곡선이 만들어집니다.
- 쌍곡선에서 색이 더 옅은 가지는 다른 초점에 해당합니다. 점 P는 F를 둘러싼 가지 위에서만 움직입니다.
수업에서 해 보기
- Q1장반경 a = 5, 단반경 b = 3인 타원이 있습니다. c와 이심률을 구하세요.
- Q2지구는 e = 0.017로 태양을 공전하고, 핼리 혜성은 e = 0.967로 공전합니다. 두 궤도를 설명하세요.
- Q3위성 안테나와 자동차 전조등의 반사판은 왜 포물선 모양으로 만들까요?
- Q4초점이 (0, 0)이고 준선이 x = -2인 포물선의 방정식을 구하세요.
- Q5평면이 원뿔의 모선 중 하나와 평행하게 원뿔을 자릅니다. 어떤 원뿔곡선이 만들어지며, 그 이유는 무엇인가요?
자주 묻는 질문
왜 ‘이심률’이라고 부를까요?
이 값은 곡선이 초점을 중심으로 하는 형태에서 얼마나 벗어났는지를 나타냅니다. e = 0인 원에서는 초점이 중심에 있습니다. e가 커질수록 초점은 중심에서 벗어나고 곡선은 길게 늘어나며, e = 1이 되면 더 이상 닫히지 않습니다.
두 번째 초점은 무엇에 쓰이나요?
타원과 쌍곡선에는 각각 초점이 두 개 있습니다. 타원에서는 두 초점까지의 거리의 합이 항상 2a입니다. 정원사는 말뚝 두 개와 고리 모양의 줄을 이용해 타원형 화단을 그릴 수 있습니다. 쌍곡선에서는 두 거리의 차가 항상 2a입니다.
물리학에서 원뿔곡선은 어디에 나타나나요?
역제곱 힘을 받으며 움직이는 물체는 끌어당기는 천체를 한 초점으로 하는 원뿔곡선을 따라 움직입니다. 행성은 타원 궤도를 돌고, 우주선은 포물선이나 쌍곡선 궤도로 탈출하며, 원자핵에 의해 산란되는 알파 입자는 쌍곡선 궤도를 따릅니다.