高中适用的数学模拟：圆锥曲线

关于此实验

用一个平面切割双圆锥，可以得到圆、椭圆、抛物线或双曲线。这四种曲线也会出现在行星轨道、卫星天线、汽车前灯和彗星的路径中。将它们联系起来的是一个数：离心率 e。曲线上每个点到一个固定点（焦点）的距离，都是它到一条固定直线（准线）的距离的 e 倍。将 e 从 0 滑到 2，沿曲线移动一个点，并检查这两个距离。

学习目标

用焦点、准线和离心率定义圆锥曲线
根据离心率判断圆锥曲线是圆、椭圆、抛物线还是双曲线
运用椭圆和双曲线的双焦点性质
写出圆锥曲线的标准方程，并求出 a、b 和 c
说明各类圆锥曲线与平面截圆锥时所成角度的关系

使用方法

1按“移动 P”，让 P 沿椭圆移动。观察 PF ÷ PD。它会变化吗？
2观察 PF + PF′。为什么它在椭圆上的每一点都相同？将它与 2a 比较。
3慢慢增大 e，使其接近 1。椭圆远端会发生什么变化？第二个焦点在哪里？
4设 e = 1。验证每个点到焦点的距离都等于到准线的距离。
5将 e 增大到 1 以上。曲线有几支？验证 |PF - PF′|。
6改变 e 时观察圆锥图示。平面的角度与曲线形状有什么关系？

模型

P F = e \cdot P D

圆锥曲线的焦点-准线定义

r = \frac{e p}{1 - e cos θ}

以焦点为基准的极坐标方程，准线与焦点相距 p

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1, c^{2} = a^{2} - b^{2}, e = \frac{c}{a} < 1

椭圆的标准形式

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1, c^{2} = a^{2} + b^{2}, e = \frac{c}{a} > 1

双曲线的标准形式

y^{2} = 4 f x, e = 1

焦距为 f 的抛物线

假设

焦点 F 位于原点，准线是直线 x = -p。图中所示的方程经过了平移，使其中心或顶点位于它在坐标网格上的实际位置。
当 e = 0 时，将其视为以焦点为圆心、半径为 p 的圆。严格来说，圆是准线移向无穷远时的极限情况。
图中圆锥的半顶角为 60°，因此，与其轴线成 β 角的平面截圆锥所得的圆锥曲线满足 e = cos β / cos 60°。
对于双曲线，颜色较浅的那一支属于另一个焦点。点 P 只在围绕 F 的这一支上移动。

在课堂上试试这个实验

Q1一个椭圆的长半轴 a = 5，短半轴 b = 3。求 c 和离心率。
Q2地球以 e = 0.017 绕太阳运行，哈雷彗星则以 e = 0.967 运行。描述这两条轨道。
Q3为什么卫星天线和汽车前灯的反射器要做成抛物线形状？
Q4求焦点为 (0, 0)、准线为 x = -2 的抛物线方程。
Q5一个平面平行于圆锥的一条母线截圆锥。它会形成哪种圆锥曲线？为什么？

常见问题

为什么称它为“离心率”？

它衡量曲线偏离以焦点为中心的程度。对于 e = 0 的圆，焦点就在圆心。随着 e 增大，焦点逐渐偏离中心，曲线也越来越拉长；当 e = 1 时，曲线不再闭合。

第二个焦点有什么用？

椭圆和双曲线各有两个焦点。对于椭圆，到两个焦点的距离之和始终为 2a。园丁可以用两根桩和一圈绳子画出椭圆形花坛。对于双曲线，这两个距离之差始终为 2a。

圆锥曲线在物理学中有哪些应用？

在平方反比力作用下运动的物体会沿圆锥曲线运动，吸引物体位于其中一个焦点：行星沿椭圆轨道运行，航天器沿抛物线或双曲线轨道逃逸，而被原子核散射的阿尔法粒子则沿双曲线运动。