Simulación de Secciones cónicas

Acerca de este experimento

Al cortar un cono doble con un plano, se obtiene un círculo, una elipse, una parábola o una hipérbola. Estas mismas cuatro curvas aparecen en las órbitas planetarias, las antenas parabólicas, los faros de los coches y las trayectorias de los cometas. Un número las relaciona: la excentricidad e. Cada punto de la curva está e veces más lejos de un punto fijo, el foco, que de una recta fija, la directriz. Desliza e de 0 a 2, mueve un punto por la curva y comprueba las distancias.

Objetivos de aprendizaje

Define una sección cónica mediante un foco, una directriz y la excentricidad.
Clasifica una cónica como círculo, elipse, parábola o hipérbola a partir de su excentricidad.
Utiliza la propiedad de los dos focos de la elipse y la hipérbola.
Escribe la ecuación de una cónica en forma estándar y halla a, b y c.
Relaciona cada cónica con el ángulo con el que un plano corta un cono.

Cómo usarlo

1Pulsa «Mover P» para desplazar P por la curva de la elipse. Observa PF ÷ PD. ¿Cambia alguna vez?
2Observa PF + PF′. ¿Por qué es igual en todos los puntos de la elipse? Compáralo con 2a.
3Aumenta e lentamente hacia 1. ¿Qué ocurre con el extremo más alejado de la elipse? ¿Dónde está el segundo foco?
4Establece e = 1. Comprueba que todos los puntos están a la misma distancia del foco que de la directriz.
5Aumenta e por encima de 1. ¿Cuántas ramas tiene la curva? Comprueba |PF - PF′|.
6Observa la imagen del cono mientras cambias e. ¿Cómo se relaciona el ángulo del plano con la forma?

El modelo

P F = e \cdot P D

Definición de una cónica mediante foco y directriz

r = \frac{e p}{1 - e cos θ}

Ecuación polar respecto al foco, con la directriz a una distancia p de este

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1, c^{2} = a^{2} - b^{2}, e = \frac{c}{a} < 1

Elipse en forma estándar

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1, c^{2} = a^{2} + b^{2}, e = \frac{c}{a} > 1

Hipérbola en forma estándar

y^{2} = 4 f x, e = 1

Parábola con distancia focal f

Supuestos

El foco F está en el origen y la directriz es la recta x = -p. La ecuación mostrada está desplazada para que su centro o vértice se encuentre donde realmente está en la cuadrícula.
Se considera que e = 0 es un círculo de radio p alrededor del foco; estrictamente, un círculo es el límite en el que la directriz se aleja hasta el infinito.
El cono de la figura tiene un semiángulo de 60°, por lo que un plano que forma un ángulo β con su eje da e = cos β / cos 60°.
En una hipérbola, la rama más clara corresponde al otro foco. P solo se mueve por la rama que rodea a F.

Pruébalo en clase

Q1Una elipse tiene a = 5 y b = 3. Calcula c y la excentricidad.
Q2La Tierra orbita alrededor del Sol con e = 0.017 y el cometa Halley con e = 0.967. Describe las dos órbitas.
Q3¿Por qué las antenas parabólicas y los reflectores de los faros tienen forma de parábola?
Q4Halla la ecuación de la parábola con foco (0, 0) y directriz x = -2.
Q5Un plano corta un cono paralelo a uno de sus lados. ¿Qué cónica forma y por qué?

Preguntas frecuentes

¿Por qué se llama excentricidad?

Mide cuánto se aleja la curva de estar centrada en su foco. Un círculo, con e = 0, tiene el foco en el centro. A medida que aumenta e, el foco se desplaza fuera del centro y la curva se alarga, hasta que, con e = 1, deja de cerrarse.

¿Para qué sirve el segundo foco?

Tanto una elipse como una hipérbola tienen dos focos. En una elipse, la suma de las dos distancias a los focos siempre es 2a; así es como los jardineros trazan un parterre elíptico con dos estacas y un cordel cerrado. En una hipérbola, la diferencia entre esas distancias siempre es 2a.

¿Dónde aparecen las cónicas en física?

Todo objeto que se mueve bajo una fuerza de inverso del cuadrado sigue una cónica con el cuerpo atrayente situado en uno de sus focos: los planetas recorren elipses, una nave espacial escapa siguiendo una parábola o una hipérbola, y las partículas alfa se dispersan en trayectorias hiperbólicas al pasar cerca de un núcleo.