À propos de cette expérience
En coupant un double cône avec un plan, on obtient un cercle, une ellipse, une parabole ou une hyperbole. Ces quatre mêmes courbes apparaissent dans les orbites planétaires, les antennes paraboliques, les phares de voiture et les trajectoires des comètes. Un nombre les relie : l’excentricité e. Chaque point de la courbe est e fois plus éloigné d’un point fixe, le foyer, que d’une droite fixe, la directrice. Faites varier e de 0 à 2, déplacez un point le long de la courbe et vérifiez les distances.
Objectifs pédagogiques
- Définissez une conique à l’aide d’un foyer, d’une directrice et de l’excentricité.
- Déterminez si une conique est un cercle, une ellipse, une parabole ou une hyperbole à partir de son excentricité.
- Utilisez la propriété des deux foyers de l’ellipse et de l’hyperbole.
- Écrivez l’équation d’une conique sous forme standard et trouvez a, b et c.
- Reliez chaque conique à l’angle auquel un plan coupe un cône.
Comment l’utiliser
- 1Appuyez sur « Déplacer P » pour déplacer P le long de la courbe de l’ellipse. Observez PF ÷ PD. Cette valeur change-t-elle parfois ?
- 2Observez PF + PF′. Pourquoi cette somme est-elle la même partout sur l’ellipse ? Comparez-la à 2a.
- 3Augmentez lentement e vers 1. Que devient l’extrémité éloignée de l’ellipse ? Où se trouve le second foyer ?
- 4Réglez e = 1. Vérifiez que chaque point est aussi éloigné du foyer que de la directrice.
- 5Augmentez e au-delà de 1. Combien de branches la courbe possède-t-elle ? Vérifiez |PF - PF′|.
- 6Observez l’image du cône pendant que vous modifiez e. Quel est le lien entre l’angle du plan et la forme ?
Le modèle
Hypothèses
- Le foyer F est à l’origine et la directrice est la droite x = -p. L’équation représentée est translatée de sorte que son centre ou son sommet se trouve à l’endroit où il se situe réellement sur le repère.
- On considère que e = 0 correspond à un cercle de rayon p centré sur le foyer ; à proprement parler, un cercle est la limite lorsque la directrice s’éloigne à l’infini.
- Le cône représenté a un demi-angle au sommet de 60°, donc un plan faisant un angle β avec son axe donne e = cos β / cos 60°.
- Pour une hyperbole, la branche plus pâle correspond à l’autre foyer. P se déplace uniquement sur la branche autour de F.
À essayer en classe
- Q1Une ellipse a a = 5 et b = 3. Trouvez c et l’excentricité.
- Q2La Terre orbite autour du Soleil avec e = 0.017 et la comète de Halley avec e = 0.967. Décrivez les deux orbites.
- Q3Pourquoi les antennes paraboliques et les réflecteurs de phares ont-ils la forme d’une parabole ?
- Q4Trouvez l’équation de la parabole dont le foyer est (0, 0) et la directrice est x = -2.
- Q5Un plan coupe un cône parallèlement à l’une de ses génératrices. Quelle conique obtient-on, et pourquoi ?
Foire aux questions
Pourquoi l’appelle-t-on excentricité ?
Elle mesure à quel point la courbe s’écarte d’une forme centrée sur son foyer. Un cercle, avec e = 0, a son foyer au centre. À mesure que e augmente, le foyer s’éloigne du centre et la courbe s’étire, jusqu’à ce qu’elle ne se referme plus lorsque e = 1.
À quoi sert le deuxième foyer ?
Une ellipse et une hyperbole ont chacune deux foyers. Pour une ellipse, la somme des deux distances aux foyers est toujours égale à 2a : c’est ainsi que les jardiniers tracent un parterre elliptique à l’aide de deux piquets et d’une boucle de ficelle. Pour une hyperbole, la différence entre ces distances est toujours égale à 2a.
Où les coniques apparaissent-elles en physique ?
Tout objet soumis à une force en inverse du carré de la distance suit une conique dont le corps attracteur occupe l’un des foyers : les planètes suivent des ellipses, un engin spatial s’échappe en suivant une parabole ou une hyperbole, et les particules alpha sont diffusées sur des trajectoires hyperboliques au voisinage d’un noyau.