Informazioni su questo esperimento
Tagliando un doppio cono con un piano si ottiene un cerchio, un’ellisse, una parabola o un’iperbole. Queste stesse quattro curve si trovano nelle orbite planetarie, nelle antenne paraboliche, nei fari delle auto e nelle traiettorie delle comete. Un numero le accomuna: l’eccentricità e. Ogni punto della curva è e volte più lontano da un punto fisso, il fuoco, che da una retta fissa, la direttrice. Varia e da 0 a 2, sposta un punto lungo la curva e verifica le distanze.
Obiettivi di apprendimento
- Definisci una conica usando un fuoco, una direttrice e l’eccentricità.
- Classifica una conica come cerchio, ellisse, parabola o iperbole in base alla sua eccentricità.
- Usa la proprietà dei due fuochi dell’ellisse e dell’iperbole.
- Scrivi l’equazione di una conica in forma standard e trova a, b e c.
- Metti in relazione ciascuna conica con l’angolo con cui un piano interseca un cono.
Come si usa
- 1Premi «Sposta P» per far muovere P lungo la curva dell’ellisse. Osserva PF ÷ PD. Cambia mai?
- 2Osserva PF + PF′. Perché è uguale in ogni punto dell’ellisse? Confrontalo con 2a.
- 3Aumenta lentamente e verso 1. Che cosa succede all’estremità più lontana dell’ellisse? Dov’è il secondo fuoco?
- 4Imposta e = 1. Verifica che ogni punto sia distante dal fuoco quanto dalla direttrice.
- 5Aumenta e oltre 1. Quanti rami ha la curva? Verifica |PF - PF′|.
- 6Osserva l’immagine del cono mentre modifichi e. In che modo l’angolo del piano è collegato alla forma?
Il modello
Ipotesi
- Il fuoco F si trova nell’origine e la direttrice è la retta x = -p. L’equazione mostrata è traslata in modo che il centro o il vertice si trovi nella posizione effettiva sul piano cartesiano.
- Si considera e = 0 come un cerchio di raggio p con centro nel fuoco; rigorosamente, il cerchio è il limite in cui la direttrice si allontana all’infinito.
- Il cono nell’immagine ha un semiangolo di 60°, quindi un piano che forma un angolo β con il suo asse dà e = cos β / cos 60°.
- Per un’iperbole, il ramo più chiaro appartiene all’altro fuoco. P si muove solo sul ramo intorno a F.
Provalo in classe
- Q1Un’ellisse ha a = 5 e b = 3. Trova c e l’eccentricità.
- Q2La Terra orbita intorno al Sole con e = 0.017 e la cometa di Halley con e = 0.967. Descrivi le due orbite.
- Q3Perché le antenne paraboliche e i riflettori dei fari hanno forma di parabola?
- Q4Trova l’equazione della parabola con fuoco (0, 0) e direttrice x = -2.
- Q5Un piano taglia un cono parallelamente a uno dei suoi lati. Quale conica si ottiene e perché?
Domande frequenti
Perché si chiama eccentricità?
Misura quanto la curva si discosta dall’essere centrata sul suo fuoco. Un cerchio, con e = 0, ha il fuoco al centro. All’aumentare di e, il fuoco si sposta fuori dal centro e la curva si allunga, finché, con e = 1, non si chiude più.
A cosa serve il secondo fuoco?
Un’ellisse e un’iperbole hanno entrambe due fuochi. Per un’ellisse, la somma delle due distanze dai fuochi è sempre 2a: è così che i giardinieri tracciano un’aiuola ellittica con due picchetti e un cappio di spago. Per un’iperbole, la differenza tra le due distanze è sempre 2a.
Dove compaiono le coniche in fisica?
Qualsiasi corpo che si muova sotto l’azione di una forza inversamente proporzionale al quadrato della distanza segue una conica, con il corpo attrattore in uno dei fuochi: i pianeti percorrono ellissi, un’astronave fugge seguendo una parabola o un’iperbole e le particelle alfa vengono deviate su traiettorie iperboliche quando passano vicino a un nucleo.