Über dieses Experiment
Schneidet man einen Doppelkegel mit einer ebenen Fläche, erhält man einen Kreis, eine Ellipse, eine Parabel oder eine Hyperbel. Dieselben vier Kurven kommen bei Planetenbahnen, Satellitenschüsseln, Autoscheinwerfern und den Bahnen von Kometen vor. Eine Zahl verbindet sie alle: die Exzentrizität e. Jeder Punkt der Kurve ist von einem festen Punkt, dem Brennpunkt, e-mal so weit entfernt wie von einer festen Geraden, der Leitlinie. Verändere e von 0 bis 2, bewege einen Punkt entlang der Kurve und überprüfe die Abstände.
Lernziele
- Definiere einen Kegelschnitt mithilfe eines Brennpunkts, einer Leitgeraden und der Exzentrizität.
- Bestimme anhand der Exzentrizität, ob ein Kegelschnitt ein Kreis, eine Ellipse, eine Parabel oder eine Hyperbel ist.
- Nutze die Zweibrennpunkteigenschaft von Ellipse und Hyperbel.
- Gib die Gleichung eines Kegelschnitts in Normalform an und bestimme a, b und c.
- Stelle den Zusammenhang zwischen jedem Kegelschnitt und dem Winkel her, unter dem eine Ebene einen Kegel schneidet.
Anleitung
- 1Drücke auf „P verschieben“, um P auf der Ellipse entlangzubewegen. Beobachte PF ÷ PD. Ändert sich der Wert jemals?
- 2Betrachte PF + PF′. Warum ist dieser Wert überall auf der Ellipse gleich? Vergleiche ihn mit 2a.
- 3Erhöhe e langsam in Richtung 1. Was geschieht mit dem entfernten Ende der Ellipse? Wo liegt der zweite Brennpunkt?
- 4Setze e = 1. Prüfe, ob jeder Punkt vom Brennpunkt genauso weit entfernt ist wie von der Leitgeraden.
- 5Erhöhe e über 1. Wie viele Äste hat die Kurve? Prüfe |PF - PF′|.
- 6Beobachte die Kegelabbildung, während du e änderst. Wie hängt der Winkel der Ebene mit der Form zusammen?
Das Modell
Annahmen
- Der Brennpunkt F liegt im Ursprung, und die Leitlinie ist die Gerade x = -p. Die dargestellte Gleichung ist so verschoben, dass ihr Mittelpunkt oder Scheitelpunkt dort liegt, wo er sich tatsächlich im Koordinatensystem befindet.
- e = 0 wird als Kreis mit Radius p um den Brennpunkt behandelt; streng genommen ist ein Kreis der Grenzfall, bei dem sich die Leitlinie ins Unendliche entfernt.
- Der Kegel in der Abbildung hat einen halben Öffnungswinkel von 60°, daher ergibt eine Ebene, die mit seiner Achse den Winkel β bildet, e = cos β / cos 60°.
- Bei einer Hyperbel gehört der blassere Ast zum anderen Brennpunkt. P bewegt sich nur auf dem Ast um F.
Im Unterricht ausprobieren
- Q1Eine Ellipse hat a = 5 und b = 3. Bestimme c und die Exzentrizität.
- Q2Die Erde umkreist die Sonne mit e = 0.017 und Halleys Komet mit e = 0.967. Beschreibe die beiden Umlaufbahnen.
- Q3Warum sind Satellitenschüsseln und Autoscheinwerfer-Reflektoren parabelförmig?
- Q4Bestimme die Gleichung der Parabel mit dem Brennpunkt (0, 0) und der Leitlinie x = -2.
- Q5Eine Ebene schneidet einen Kegel parallel zu einer seiner Mantellinien. Welchen Kegelschnitt ergibt das und warum?
Häufig gestellte Fragen
Warum heißt es Exzentrizität?
Sie misst, wie weit die Kurve davon entfernt ist, um ihren Brennpunkt zentriert zu sein. Ein Kreis mit e = 0 hat seinen Brennpunkt im Mittelpunkt. Mit zunehmendem e wandert der Brennpunkt aus der Mitte, und die Kurve wird lang gestreckt, bis sie sich bei e = 1 nicht mehr schließt.
Wozu dient der zweite Brennpunkt?
Eine Ellipse und eine Hyperbel haben jeweils zwei Brennpunkte. Bei einer Ellipse ergibt die Summe der beiden Abstände zu den Brennpunkten immer 2a. So zeichnen Gärtner mit zwei Pflöcken und einer Schnurschlaufe ein elliptisches Beet. Bei einer Hyperbel beträgt die Differenz der beiden Abstände immer 2a.
Wo kommen Kegelschnitte in der Physik vor?
Alles, was sich unter dem Einfluss einer Kraft mit umgekehrt quadratischer Abhängigkeit bewegt, folgt einem Kegelschnitt, bei dem sich der anziehende Körper in einem Brennpunkt befindet: Planeten bewegen sich auf Ellipsen, ein Raumfahrzeug entkommt auf einer Parabel oder Hyperbel, und Alphateilchen werden auf hyperbolischen Bahnen an einem Atomkern gestreut.