高中適用的數學模擬：圓錐曲線

關於此實驗

用一個平面切割雙圓錐，可以得到圓、橢圓、拋物線或雙曲線。這四種曲線也會出現在行星軌道、衛星天線、汽車頭燈和彗星的路徑中。將它們聯繫起來的是一個數：離心率 e。曲線上每個點到一個固定點（焦點）的距離，都是它到一條固定直線（準線）的距離的 e 倍。將 e 從 0 滑到 2，沿曲線移動一個點，並檢查這兩個距離。

學習目標

用焦點、準線和離心率定義圓錐曲線
根據離心率判斷圓錐曲線是圓、橢圓、拋物線還是雙曲線
運用橢圓和雙曲線的雙焦點性質
寫出圓錐曲線的標準方程式，並求出 a、b 和 c
說明各類圓錐曲線與平面截圓錐時所成角度的關係

使用方法

1按「移動 P」，讓 P 沿橢圓移動。觀察 PF ÷ PD。它會改變嗎？
2觀察 PF + PF′。為什麼它在橢圓上的每一點都相同？將它與 2a 比較。
3慢慢增加 e，使它接近 1。橢圓遠端會發生什麼變化？第二個焦點在哪裡？
4設 e = 1。驗證每個點到焦點的距離都等於到準線的距離。
5將 e 增加到大於 1。曲線有幾支？驗證 |PF - PF′|。
6改變 e 時觀察圓錐圖示。平面的角度與曲線形狀有什麼關係？

模型

P F = e \cdot P D

圓錐曲線的焦點-準線定義

r = \frac{e p}{1 - e cos θ}

以焦點為基準的極座標方程式，準線與焦點相距 p

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1, c^{2} = a^{2} - b^{2}, e = \frac{c}{a} < 1

橢圓的標準形式

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1, c^{2} = a^{2} + b^{2}, e = \frac{c}{a} > 1

雙曲線的標準形式

y^{2} = 4 f x, e = 1

焦距為 f 的拋物線

假設

焦點 F 位於原點，準線是直線 x = -p。圖中所示的方程式經過平移，使其中心或頂點位於它在座標網格上的實際位置。
當 e = 0 時，將其視為以焦點為圓心、半徑為 p 的圓。嚴格來說，圓是準線移向無限遠時的極限情況。
圖中圓錐的半頂角為 60°，因此，與其軸線成 β 角的平面截圓錐所得的圓錐曲線滿足 e = cos β / cos 60°。
對於雙曲線，顏色較淡的那一支屬於另一個焦點。點 P 只在圍繞 F 的這一支上移動。

在課堂上試試這個實驗

Q1一個橢圓的長半軸 a = 5，短半軸 b = 3。求 c 和離心率。
Q2地球以 e = 0.017 繞太陽運行，哈雷彗星則以 e = 0.967 運行。描述這兩條軌道。
Q3為什麼衛星天線和汽車頭燈的反射器要做成拋物線形狀？
Q4求焦點為 (0, 0)、準線為 x = -2 的拋物線方程式。
Q5一個平面平行於圓錐的一條母線截圓錐。它會形成哪種圓錐曲線？為什麼？

常見問題

為什麼稱它為「離心率」？

它衡量曲線偏離以焦點為中心的程度。對於 e = 0 的圓，焦點就在圓心。隨著 e 增大，焦點逐漸偏離中心，曲線也越來越拉長；當 e = 1 時，曲線不再閉合。

第二個焦點有什麼用？

橢圓和雙曲線各有兩個焦點。對於橢圓，到兩個焦點的距離總和始終為 2a。園丁可以用兩根樁和一圈繩子畫出橢圓形花圃。對於雙曲線，這兩個距離之差始終為 2a。

圓錐曲線在物理學中有哪些應用？

在平方反比力作用下運動的物體會沿圓錐曲線運動，吸引物體位於其中一個焦點：行星沿橢圓軌道運行，太空船沿拋物線或雙曲線軌道逃逸，而被原子核散射的阿爾法粒子則沿雙曲線運動。