インタラクティブな円錐曲線シミュレーション

この実験について

二重円錐を平らな面で切ると、円、楕円、放物線、または双曲線ができます。同じ4つの曲線は、惑星の軌道、衛星放送用アンテナ、自動車のヘッドライト、彗星の軌道にも現れます。これらを結びつけるのは、離心率 e という1つの数です。曲線上のすべての点は、固定された点である焦点からの距離が、固定された直線である準線からの距離の e 倍です。e を 0 から 2 まで動かし、曲線に沿って点を動かして、距離を確かめましょう。

学習目標

焦点、準線、離心率を使って円錐曲線を定義する
離心率から、円錐曲線が円、楕円、放物線、双曲線のどれかを判定する
楕円と双曲線の二焦点の性質を利用する
円錐曲線の方程式を標準形で表し、a、b、cを求める
それぞれの円錐曲線と、平面が円錐を切る角度との関係を説明する

使い方

1「Pを動かす」を押して、楕円に沿ってPを動かしてください。PF ÷ PDを見てください。変化することはありますか？
2PF + PF′を見てください。なぜ楕円上のどの点でも同じなのでしょうか？2aと比べてみましょう。
3eをゆっくり1に近づけてください。楕円の遠い端はどうなりますか？もう一方の焦点はどこにありますか？
4e = 1に設定してください。すべての点で、焦点までの距離と準線までの距離が等しいことを確かめてください。
5eを1より大きくしてください。曲線には枝がいくつありますか？|PF - PF′|を確かめてください。
6eを変えながら円錐の図を見てください。平面の角度と曲線の形はどのように結びついていますか？

モデル

P F = e \cdot P D

円錐曲線の焦点・準線による定義

r = \frac{e p}{1 - e cos θ}

焦点を基準とする極方程式。準線は焦点から距離pの位置にある

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1, c^{2} = a^{2} - b^{2}, e = \frac{c}{a} < 1

楕円の標準形

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1, c^{2} = a^{2} + b^{2}, e = \frac{c}{a} > 1

標準形の双曲線

y^{2} = 4 f x, e = 1

焦点距離が f の放物線

前提条件

焦点 F は原点にあり、準線は直線 x = -p です。表示されている方程式は、中心または頂点が座標平面上の本来の位置にくるように平行移動されています。
e = 0 の場合は、焦点を中心とする半径 p の円として扱います。厳密には、準線が無限遠に移動した極限が円です。
図の円錐の半頂角は 60° なので、軸となす角が β の平面によってできる円錐曲線は e = cos β / cos 60° となります。
双曲線では、色の薄い方の枝はもう一方の焦点に対応します。点 P は F を囲む枝の上だけを動きます。

授業で試してみましょう

Q1長半径 a = 5、短半径 b = 3 の楕円があります。c と離心率を求めなさい。
Q2地球は e = 0.017 で太陽の周りを公転し、ハレー彗星は e = 0.967 で公転します。2つの軌道について説明してください。
Q3衛星放送用アンテナやヘッドライトの反射鏡が放物線の形をしているのはなぜですか？
Q4焦点が (0, 0)、準線が x = -2 の放物線の方程式を求めなさい。
Q5平面が円錐の側面の一つと平行に円錐を切ります。どの円錐曲線ができますか？また、それはなぜですか？

よくある質問

なぜ「離心率」と呼ばれるのでしょうか？

これは、曲線が焦点を中心とする形からどれだけ離れているかを表します。e = 0 の円では、焦点は中心にあります。e が大きくなるにつれて焦点は中心からずれ、曲線は細長くなり、e = 1 になると閉じなくなります。

もう一つの焦点は何のためにあるのですか？

楕円と双曲線には、それぞれ二つの焦点があります。楕円では、二つの焦点までの距離の和は常に 2a です。これを利用して、庭師は二本の杭と輪にしたひもで楕円形の花壇を描きます。双曲線では、二つの距離の差が常に 2a です。

物理学では円錐曲線はどこに現れますか？

逆二乗力を受けて運動する物体は、引きつける天体を一つの焦点とする円錐曲線を描きます。惑星は楕円軌道を進み、宇宙船は放物線または双曲線軌道で脱出し、原子核に散乱されるアルファ粒子は双曲線軌道を進みます。