三角函数

高中数学单位圆的精确定义

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关于此实验

拖动单位圆上的点，观察它的高度如何描绘出正弦波，水平位置如何描绘出余弦波。圆与图像之间的联系能让你轻松看出周期、各象限中的正负号以及正切曲线的形状。开启变换后的曲线，探索振幅、频率和相位。

学习目标

使用单位圆定义正弦、余弦和正切
解释正弦和余弦为何每隔 2π 弧度重复一次
确定每个函数在各象限中的正负号
描述 A、ω 和 φ 如何改变 y = A sin(ωx + φ) 的图像。

使用方法

1按“播放”，或沿圆拖动黑点。
2观察圆上的橙色线段和橙色曲线如何随着 sin θ 一起增长。
3切换到 cos 和 tan，比较它们分别在哪里为零、为正或为负。
4打开变换后的曲线，然后一次只改变 A、ω 和 φ 中的一个。

模型

sin θ = y, cos θ = x, tan θ = \frac{y}{x}

单位圆上点的坐标

sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1

勾股恒等式

T = \frac{2 π}{ω}

y = A sin(ωx + φ) 的周期

假设

角度从 x 轴正方向起逆时针测量。
图像显示了从 0 到 2π 的完整一周。

在课堂上试试这个实验

Q1在哪些象限中，sin θ 为正而 cos θ 为负？
Q2为什么 tan θ 在 90° 和 270° 处没有定义？观察一下切线。
Q3将 ω 设为 2。现在 0 到 2π 之间能容纳几个完整波形？
Q4哪个相位平移能将正弦曲线变成余弦曲线？

常见问题

为什么要使用单位圆？

半径为 1 时，点的 x 坐标和 y 坐标恰好分别是 cos θ 和 sin θ，因此这些定义适用于所有角度，而不仅仅适用于直角三角形中的角。

什么是弧度？

它是截取出与半径等长的弧所对应的角。一整圈是2π弧度，相当于360°。

为什么正切函数图像会有断点？

在90°和270°时，点位于y轴上，因此x = 0，y/x没有定义。图像会在这些位置趋向无穷大。