Über dieses Experiment
Ziehe einen Punkt um den Einheitskreis und beobachte, wie seine Höhe die Sinuskurve und seine horizontale Position die Kosinuskurve nachzeichnet. Die Verknüpfung von Kreis und Graph macht die Periodendauer, das Vorzeichen in jedem Quadranten und die Form der Tangenskurve leicht erkennbar. Aktiviere die transformierte Kurve, um Amplitude, Frequenz und Phase zu erkunden.
Lernziele
- Sinus, Kosinus und Tangens mithilfe des Einheitskreises definieren
- Erklären, warum sich Sinus und Kosinus alle 2π Radiant wiederholen
- Das Vorzeichen jeder Funktion in jedem Quadranten bestimmen
- Beschreibe, wie A, ω und φ den Graphen von y = A sin(ωx + φ) verändern.
Anleitung
- 1Drücke auf „Play“ oder ziehe den schwarzen Punkt um den Kreis.
- 2Beobachte, wie das orange Kreissegment und die orange Kurve für sin θ gleichzeitig wachsen.
- 3Wechsle zu cos und tan und vergleiche, wo die einzelnen Funktionen null, positiv oder negativ sind.
- 4Blende die transformierte Kurve ein und ändere A, ω und φ nacheinander.
Das Modell
Annahmen
- Winkel werden gegen den Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse aus gemessen.
- Der Graph zeigt eine vollständige Umdrehung von 0 bis 2π.
Im Unterricht ausprobieren
- Q1In welchen Quadranten ist sin θ positiv und cos θ negativ?
- Q2Warum ist tan θ bei 90° und 270° nicht definiert? Sieh dir die Tangente an.
- Q3Setze ω = 2. Wie viele vollständige Wellen passen jetzt zwischen 0 und 2π?
- Q4Welche Phasenverschiebung verwandelt die Sinuskurve in die Kosinuskurve?
Häufig gestellte Fragen
Warum verwendet man einen Einheitskreis?
Bei einem Radius von 1 sind die x- und y-Koordinaten des Punktes genau cos θ und sin θ. Daher gelten die Definitionen für jeden Winkel und nicht nur für Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck.
Was ist ein Bogenmaß?
Es ist der Winkel, der einen Kreisbogen abschneidet, dessen Länge dem Radius entspricht. Eine volle Umdrehung entspricht 2π Radiant oder 360°.
Warum hat der Graph des Tangens Unterbrechungen?
Bei 90° und 270° liegt der Punkt auf der y-Achse, also ist x = 0 und y/x nicht definiert. Der Graph schießt dort ins Unendliche.