三角函數

高中數學單位圓的精確定義

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關於此實驗

拖曳單位圓上的點，觀察它的高度如何描繪出正弦波，水平位置如何描繪出餘弦波。圓與圖形之間的連結能讓你輕鬆看出週期、各象限中的正負號，以及正切曲線的形狀。開啟變換後的曲線，探索振幅、頻率和相位。

學習目標

使用單位圓定義正弦、餘弦和正切
解釋正弦和餘弦為何每隔 2π 弧度重複一次
判斷每個函數在各象限中的正負號
描述 A、ω 和 φ 如何改變 y = A sin(ωx + φ) 的圖形。

使用方法

1按下「播放」，或沿著圓拖曳黑點。
2觀察圓上的橘色線段和橘色曲線如何隨著 sin θ 一起增長。
3切換到 cos 和 tan，比較它們分別在哪裡為零、為正或為負。
4開啟變換後的曲線，然後一次只改變 A、ω 和 φ 中的一個。

模型

sin θ = y, cos θ = x, tan θ = \frac{y}{x}

單位圓上點的座標

sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1

畢氏恆等式

T = \frac{2 π}{ω}

y = A sin(ωx + φ) 的週期

假設

角度從 x 軸正方向起逆時針測量。
圖形顯示了從 0 到 2π 的完整一圈。

在課堂上試試這個實驗

Q1在哪些象限中，sin θ 為正而 cos θ 為負？
Q2為什麼 tan θ 在 90° 和 270° 處沒有定義？觀察一下切線。
Q3將 ω 設為 2。現在 0 到 2π 之間能容納幾個完整波形？
Q4哪個相位平移能將正弦曲線變成餘弦曲線？

常見問題

為什麼要使用單位圓？

半徑為 1 時，點的 x 座標和 y 座標恰好分別是 cos θ 和 sin θ，因此這些定義適用於所有角度，而不僅僅適用於直角三角形中的角。

什麼是弧度？

它是截取出與半徑等長的弧所對應的角。一整圈是2π弧度，相當於360°。

為什麼正切函數圖形會有斷點？

在90°和270°時，點位於y軸上，因此x = 0，y/x沒有定義。圖形會在這些位置趨向無窮大。