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空间中的直线与平面

高中数学精确计算直线与平面的欧几里得关系，并检查零向量及有限绘图范围

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关于此实验

在空间中放置两个几何对象，并测量它们的较小角、交点或最近点。比较平行、重合、相交和异面等情况，避免将有限的绘图范围与数学上无限延伸的直线或平面混为一谈。

学习目标

  • 区分直线方向与平面法向量。
  • 计算空间中的较小角和最短距离。
  • 识别异面直线和无效的零方向向量。

使用方法

  1. 1从一条与平面相交的直线开始，查看交点坐标。
  2. 2改变直线的方向，直到它与平面平行。
  3. 3利用法向量比较两个平面。
  4. 4构造异面直线，并查看连接它们的最短线段。

模型

直线与平面的夹角是从平面而不是从它的法向量测量的。
这样可以得到无向直线或平面法向量之间较小的夹角。
非平行直线上的最近点满足两个正交条件。

假设

  • 模型中的所有直线和平面都是无限延伸的。显示的部分以及高亮显示的交点会裁剪到有限的视图范围内。
  • 零方向向量或零法向量无效；系统会返回未定义的测量值，而不会凭空构造几何图形。
  • 平面之间以及直线之间的夹角均为较小的非负角。数值比较会使用一个较小的浮点容差。

在课堂上试试这个实验

  1. Q1为什么将平面的法向量旋转180度后，平面仍然相同？
  2. Q2为什么空间中的两条非平行直线仍可能不相交？

常见问题

为什么交点会从图中消失，但仍然可以获取其坐标？

精确交点可能位于有限的相机视野之外，尤其是对于几乎平行的物体。

平行物体和重合物体有什么区别？

重合物体的完整点集相同。不同的平行物体之间存在非零的垂直距离。