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空間中的直線與平面

高中數學精確計算直線與平面的歐幾里得關係，並檢查零向量及有限繪圖範圍

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關於此實驗

在空間中放置兩個幾何物件，並測量它們的較小角、交點或最近點。比較平行、重合、相交和歪斜等情況，避免將有限的繪圖範圍與數學上無限延伸的直線或平面混為一談。

學習目標

  • 區分直線方向與平面法向量。
  • 計算空間中的較小角和最短距離。
  • 辨識歪斜直線和無效的零方向向量。

使用方法

  1. 1從一條與平面相交的直線開始，查看交點座標。
  2. 2改變直線的方向，直到它與平面平行。
  3. 3利用法向量比較兩個平面。
  4. 4構造歪斜線，並查看連接它們的最短線段。

模型

直線與平面的夾角是從平面而非其法向量測量的。
如此可得到無向直線或平面法向量之間較小的夾角。
非平行直線上的最近點滿足兩個正交條件。

假設

  • 模型中的所有直線和平面都是無限延伸的。顯示的部分以及醒目標示的交點會裁切至有限的檢視範圍內。
  • 零方向向量或零法向量無效；系統會回傳未定義的測量值，而不會憑空構造幾何圖形。
  • 平面之間以及直線之間的夾角均為較小的非負角。數值比較會使用一個小的浮點容差。

在課堂上試試這個實驗

  1. Q1為什麼將平面的法向量旋轉180度後，平面仍然相同？
  2. Q2為什麼空間中的兩條非平行直線仍可能不相交？

常見問題

為什麼交點會從圖中消失，但仍然可以取得其座標？

精確交點可能位於有限的相機視野之外，尤其是對於幾乎平行的物體。

平行物體和重合物體有什麼區別？

重合物體的完整點集相同。不同的平行物體之間存在非零的垂直距離。