Geraden und Ebenen im Raum-Simulation

Über dieses Experiment

Positioniere zwei räumliche Objekte und miss ihren kleineren Winkel, ihre Schnittpunkte oder ihre nächstgelegenen Punkte. Vergleiche parallele, zusammenfallende, sich schneidende und windschiefe Fälle, ohne die begrenzte Zeichnung mit einer unendlichen mathematischen Geraden oder Ebene zu verwechseln.

Lernziele

Unterscheide Geradenrichtungen von Ebenennormalen.
Berechne kleinere Winkel und kürzeste Abstände im Raum.
Erkenne windschiefe Geraden und ungültige Nullrichtungen.

Anleitung

1Beginne mit einer Geraden, die eine Ebene schneidet, und untersuche die Koordinaten des Schnittpunkts.
2Ändere die Richtung der Geraden, bis sie parallel zur Ebene ist.
3Vergleiche zwei Ebenen anhand ihrer Normalenvektoren.
4Konstruiere windschiefe Geraden und untersuche die kürzeste Verbindungsstrecke.

Das Modell

sin α = \frac{∣ v \cdot n ∣}{∣ v ∣∣ n ∣}

Der Winkel zwischen Gerade und Ebene wird von der Ebene aus gemessen, nicht von ihrer Normalen.

cos β = \frac{∣ a \cdot b ∣}{∣ a ∣∣ b ∣}

So erhält man den kleineren Winkel für unorientierte Geraden oder Ebenennormalen.

(P + s a) - (Q + t b) ⊥ a, b

Die nächstgelegenen Punkte auf nicht parallelen Geraden erfüllen beide Orthogonalitätsbedingungen.

Annahmen

Im Modell sind alle Geraden und Ebenen unendlich. Die dargestellten Ausschnitte und hervorgehobenen Schnittpunkte werden auf einen endlichen Bildausschnitt begrenzt.
Ein Nullrichtungsvektor oder eine Nullnormale ist ungültig; statt einer erfundenen Geometrie werden undefinierte Messwerte zurückgegeben.
Winkel zwischen Ebenen und zwischen Geraden sind die kleineren nichtnegativen Winkel. Bei numerischen Vergleichen wird eine kleine Gleitkommatoleranz verwendet.

Im Unterricht ausprobieren

Q1Warum bleibt dieselbe Ebene erhalten, wenn man ihre Normale um 180 Grad dreht?
Q2Wie können sich zwei nicht parallele Geraden im Raum trotzdem verfehlen?

Häufig gestellte Fragen

Warum kann ein Schnittpunkt aus der Zeichnung verschwinden, während seine Koordinaten weiterhin verfügbar sind?

Der genaue Schnittpunkt kann außerhalb des begrenzten Kamerafensters liegen, besonders bei nahezu parallelen Objekten.

Worin unterscheiden sich parallele und deckungsgleiche Objekte?

Deckungsgleiche Objekte haben dieselbe vollständige Punktmenge. Verschiedene parallele Objekte weisen einen positiven senkrechten Abstand auf.