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立体的截面

高中数学求任意平面与立方体棱的交点，去除重复点，并按顺序排列成凸截面多边形

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关于此实验

在立方体中平移和旋转无限切割平面。测量三角形、四边形、五边形和六边形，并查看仅接触一条棱或一个顶点的退化截面。

学习目标

  • 了解平面的方向和位置与截面多边形之间的关系。
  • 在平面自身内计算截面的面积和周长。
  • 区分内部多边形与相切线段、切点或空交集。

使用方法

  1. 1查看正六边形的中心截面并选择其顶点。
  2. 2将平面移向一个角，直到截面变成三角形。
  3. 3旋转法线，得到一个与面平行的正方形截面。
  4. 4移到支撑距离之外，并说明为什么不再有截面。

模型

滑块 s 表示用立方体支撑距离归一化后的偏移量。
按顺序排列的平面顶点可用于求出真实的三维多边形面积。
垂直于体对角线的中央截面面积就是这个值。

假设

  • 立方体是封闭的立体，而数学平面是无限延伸的。可见的平面只是有限的绘图区域。
  • 坐标容差范围内的交点会合并，因此，经过立方体顶点的平面不会产生重复的截面顶点。
  • 线段或点的多边形面积为零，也没有多边形周长。与立方体某个面重合的平面，其交集就是该整个面。

在课堂上试试这个实验

  1. Q1为什么立方体的截面可以有六条边，尽管每个面都只有四条边？
  2. Q2将立方体的每条边长都加倍后，面积和周长会如何变化？

常见问题

三角形截面一定是立方体的一个面吗？

不是。它可以在一个角附近斜切过三条相邻的立方体棱。

能从透视图中准确读出最大的可见多边形吗？

请使用面积读数。透视缩短会改变屏幕上看起来的面积，但不会改变计算得到的平面内面积。