인터랙티브 테일러 다항식 시뮬레이션

이 실험 소개

계산기는 sin 2의 값을 직접 알 수 없지만, 덧셈과 곱셈은 할 수 있습니다. 테일러 다항식은 이런 연산만으로 함수를 모방합니다. 한 점에서 함수값, 기울기, 곡률, 그리고 그보다 높은 모든 도함숫값을 일치시킵니다. 항을 하나씩 더해 다항식이 곡선에 점점 더 넓은 구간에서 밀착하는 모습을 살펴보세요. 항을 아무리 추가해도 수렴하지 않는 곳도 확인하고, 실제 오차를 미적분에서 얻은 라그랑주 오차 상계와 비교해 보세요.

학습 목표

한 점에서의 도함수로 함수의 테일러 다항식을 구합니다
sin x, cos x, eˣ, ln(1 + x), 1/(1 − x), √(1 + x)의 매클로린 급수를 알아봅니다
근사값이 중심 근처에서 가장 정확하고, 중심에서 멀어질수록 오차가 커지는 이유를 설명합니다
수렴 구간을 구하고, 그 구간 밖에서는 항을 더할수록 결과가 나빠짐을 확인합니다
라그랑주 나머지항을 사용해 근사 오차의 상한을 구합니다

사용 방법

1중심이 0인 sin x를 선택합니다. 항을 하나씩 추가합니다. 왜 한 단계씩 건너뛸 때마다 그래프가 그대로일까요?
2차수를 3으로 설정하고 확인점을 0에서 3으로 옮깁니다. 오차는 어떻게 커지나요? x = 2에서 오차를 0.001 미만으로 만들려면 항이 몇 개 필요할까요?
3여러 차수에서 실제 오차와 라그랑주 오차 상한을 비교합니다. 상한이 실제 오차보다 작을 때도 있나요?
4ln(1 + x)를 선택합니다. 확인점을 x = 1.5로 설정하고 항을 추가합니다. 어떤 일이 일어나며, 초록색 띠는 이를 어떻게 설명하나요?
51/(1 − x)를 선택하고 중심을 −2로 옮깁니다. 수렴 구간은 어떻게 바뀌나요? 가장 가까운 문제점은 어디인가요?
6eˣ와 중심 1을 선택하세요. 공식에서 처음 세 항을 적고 화면의 값과 비교해 보세요.

모델

P_{n} (x) = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} (x - a)^{k}

x = a를 중심으로 하는 n차 테일러 다항식(a = 0일 때는 맥클로린 다항식)

sin x = x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} - \dots, e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \dots

모든 x에서 수렴하는 두 급수

ln (1 + x) = x - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} - \dots (- 1 < x \leq 1)

수렴 구간이 유한한 급수

∣ f (x) - P_{n} (x) ∣ \leq \frac{M ∣ x - a ∣ ^{n + 1}}{( n + 1 )!}

라그랑주 오차 상계. M은 a와 x 사이에서 (n + 1)차 도함수의 상계입니다.

가정

계수는 수치 미분이 아니라 도함수의 정확한 공식으로 최대 20차까지 계산됩니다.
라그랑주 오차 상계 표시에는 M = 1을 사용하며, 이는 sin x와 cos x에서 정확한 값입니다. 다른 함수의 경우 M은 구간에 따라 달라지므로 상계가 표시되지 않습니다.
a를 중심으로 한 수렴 반경은 함수 또는 그 복소수로의 확장이 정의되지 않는 가장 가까운 점까지의 거리입니다. 예를 들어 ln(1 + x)에서는 x = −1입니다.
중심이 0이면 공식이 정확한 분수로 표시되고, 그 외의 경우에는 계수가 유효 숫자 네 자리로 반올림되어 표시됩니다.

수업에서 해 보기

Q1cos x의 4차 맥클로린 다항식을 쓰고, 이를 사용해 cos 0.5를 추정하세요.
Q2eˣ의 급수를 이용해 e를 소수점 아래 네 자리까지 구하려면 몇 개의 항이 필요할까요?
Q3라그랑주 오차 한계를 사용하여 |x| ≤ 0.5일 때 x − x³/6이 sin x를 0.0003 이내의 오차로 근사함을 보이세요.
Q4함수 자체는 x = 2에서 정의되어 있는데도 1/(1 − x)의 0을 중심으로 한 급수가 x = 2에서 성립하지 않는 이유는 무엇인가요?
Q5√(1 + x)의 0을 중심으로 한 2차 테일러 다항식을 구하고, 이를 사용하여 √1.1을 근사하세요.

자주 묻는 질문

계산기는 정말 테일러 급수를 사용하나요?

같은 아이디어를 개선해서 사용합니다. 대부분 먼저 각도를 작은 범위로 변환하는데, 그 범위에서는 짧은 다항식만으로도 매우 정확하게 근사할 수 있습니다. 또한 단순한 테일러 항 대신 CORDIC이나 오차가 고르게 분산되도록 조정된 다항식을 사용하는 경우도 많습니다.

어떤 급수는 어디서나 수렴하는데 다른 급수는 왜 근처에서만 수렴하나요?

수렴 반경은 함수가 발산하거나 정의되지 않는 가장 가까운 점(복소수 점일 수도 있음)에 의해 결정됩니다. sin x와 eˣ에는 그런 점이 없으므로 그 급수는 어디서나 성립합니다. ln(1 + x)는 x = −1에서 정의되지 않으므로, 0을 중심으로 한 급수는 거리 1 이내에서만 성립합니다.

소각 근사 sin x ≈ x는 테일러 다항식인가요?

네, 이는 sin x를 0을 기준으로 전개한 1차(및 2차) 테일러 다항식입니다. 다음 항인 −x³/6이 오차를 보여 줍니다. 오차는 0.1 rad에서 약 0.2 %, 0.5 rad에서 약 4 %입니다.