泰勒多项式

高中数学泰勒多项式 P_n(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!（k 从 0 到 n），系数由精确导数计算

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关于此实验

计算器无法直接知道 sin 2 的值，但它可以做加法和乘法。泰勒多项式只用这些运算来逼近函数：它在某一点匹配函数值、斜率、曲率以及所有更高阶导数。逐项添加，观察多项式贴合曲线的范围如何不断扩大；看看无论添加多少项都无法收敛的位置；并将实际误差与微积分给出的拉格朗日误差界进行比较。

学习目标

根据函数在某一点的导数构造泰勒多项式
识别 sin x、cos x、eˣ、ln(1 + x)、1/(1 − x) 和 √(1 + x) 的麦克劳林级数
解释为什么近似在中心附近最好，而离中心越远效果越差
求出收敛区间，并观察在区间之外，增加项数反而会使结果变差
使用拉格朗日余项来估计近似误差的上界

使用方法

1选择以 0 为中心的 sin x。逐项添加。为什么每隔一步图像都保持不变？
2将次数设为 3，把检查点从 0 移到 3。误差会如何增大？要使 x = 2 处的误差小于 0.001，需要多少项？
3比较不同次数下的实际误差与拉格朗日误差上界。上界会比实际误差还小吗？
4选择 ln(1 + x)。将检查点设为 x = 1.5，然后添加项。会发生什么？绿色带如何解释这一现象？
5选择 1/(1 − x)，并将中心移到 −2。收敛区间会如何变化？最近的问题点在哪里？
6选择 eˣ 和中心 1。从公式中写下前三项，并与屏幕上的结果核对。

模型

P_{n} (x) = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} (x - a)^{k}

以 x = a 为中心的 n 次泰勒多项式（a = 0 时为麦克劳林多项式）

sin x = x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} - \dots, e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \dots

对所有 x 都收敛的两个级数

ln (1 + x) = x - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} - \dots (- 1 < x \leq 1)

收敛区间有限的级数

∣ f (x) - P_{n} (x) ∣ \leq \frac{M ∣ x - a ∣ ^{n + 1}}{( n + 1 )!}

拉格朗日误差界，其中 M 是 a 与 x 之间 (n + 1) 阶导数的上界

假设

系数根据导数的精确公式计算，而非通过数值微分计算，最高可达 20 次。
拉格朗日误差界的显示使用 M = 1；对于 sin x 和 cos x，这个值是精确的。对于其他函数，M 取决于区间，因此不显示误差界。
以 a 为中心的收敛半径，是从 a 到函数本身或其复数扩展失效的最近点的距离。例如，ln(1 + x) 在 x = −1 处失效。
中心为 0 时，公式以精确分数显示；否则，系数会四舍五入到四位有效数字。

在课堂上试试这个实验

Q1写出 cos x 的四次麦克劳林多项式，并用它估算 cos 0.5。
Q2要用 eˣ 的级数将 e 精确到小数点后四位，需要多少项？
Q3使用拉格朗日误差界证明：当 |x| ≤ 0.5 时，x − x³/6 对 sin x 的近似误差不超过 0.0003。
Q4尽管函数本身在 x = 2 处有定义，为什么 1/(1 − x) 关于 0 的级数在 x = 2 处却不成立？
Q5求 √(1 + x) 关于 0 的二次泰勒多项式，并用它估算 √1.1。

常见问题

计算器真的会使用泰勒级数吗？

它们使用的是经过改进的同一思路。大多数计算器会先将角度化到一个较小的范围，在那里用较短的多项式就能实现很高的精度；许多计算器还会使用 CORDIC，或经过调整以使误差均匀分布的多项式，而不是直接使用普通的泰勒项。

为什么有些级数处处收敛，而另一些只在附近收敛？

收敛半径由离中心最近的、函数发散或无定义的点决定，这个点也可能是复数。sin x 和 eˣ 没有这样的点，因此它们的级数处处成立。ln(1 + x) 在 x = −1 处无定义，因此它关于 0 的级数只在距离 1 以内成立。

小角近似 sin x ≈ x 是泰勒多项式吗？

是的，它是 sin x 在 0 附近的 1 次（也是 2 次）泰勒多项式。下一项 −x³/6 表明了误差：在 0.1 rad 时约为 0.2 %，在 0.5 rad 时约为 4 %。