Taylorpolynome-Simulation

Über dieses Experiment

Ein Taschenrechner kann sin 2 nicht direkt kennen, aber er kann addieren und multiplizieren. Ein Taylorpolynom bildet eine Funktion nur mit diesen Operationen nach: Es stimmt an einem Punkt mit dem Funktionswert, der Steigung, der Krümmung und jeder höheren Ableitung überein. Füge die Terme einzeln hinzu und beobachte, wie sich das Polynom über einen immer größeren Bereich an die Kurve anschmiegt. Sieh, wo es sich unabhängig davon, wie viele Terme du hinzufügst, weigert zu konvergieren, und vergleiche den tatsächlichen Fehler mit der Lagrange-Abschätzung aus der Analysis.

Lernziele

Stelle das Taylorpolynom einer Funktion aus ihren Ableitungen an einem Punkt auf
Erkenne die Maclaurin-Reihen von sin x, cos x, eˣ, ln(1 + x), 1/(1 − x) und √(1 + x)
Erkläre, warum die Näherung in der Nähe des Zentrums am besten ist und mit zunehmender Entfernung schlechter wird
Bestimme das Konvergenzintervall und stelle fest, dass außerhalb davon mehr Terme die Näherung verschlechtern
Verwende das Lagrange-Restglied, um den Fehler einer Näherung abzuschätzen

Anleitung

1Wähle sin x mit dem Zentrum 0. Füge die Terme nacheinander hinzu. Warum bleibt der Graph bei jedem zweiten Schritt unverändert?
2Verschiebe bei Grad 3 den Prüfpunkt von 0 auf 3. Wie wächst der Fehler? Wie viele Terme brauchst du, damit der Fehler bei x = 2 unter 0,001 liegt?
3Vergleiche den tatsächlichen Fehler mit der Lagrange-Schranke für mehrere Grade. Ist die Schranke jemals kleiner als der Fehler?
4Wähle ln(1 + x). Setze den Prüfpunkt auf x = 1.5 und füge Terme hinzu. Was passiert, und wie lässt sich das durch das grüne Band erklären?
5Wähle 1/(1 − x) und verschiebe das Zentrum auf −2. Wie verändert sich das Konvergenzintervall? Wo liegt der nächste problematische Punkt?
6Wähle eˣ und den Mittelpunkt 1. Notiere die ersten drei Terme der Formel und vergleiche sie mit der Anzeige.

Das Modell

P_{n} (x) = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} (x - a)^{k}

Taylorpolynom n-ten Grades um x = a (Maclaurinpolynom für a = 0)

sin x = x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} - \dots, e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \dots

Zwei Reihen, die für jedes x konvergieren

ln (1 + x) = x - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} - \dots (- 1 < x \leq 1)

Eine Reihe mit einem beschränkten Konvergenzintervall

∣ f (x) - P_{n} (x) ∣ \leq \frac{M ∣ x - a ∣ ^{n + 1}}{( n + 1 )!}

Lagrange-Fehlerabschätzung, wobei M die (n + 1)-te Ableitung zwischen a und x nach oben beschränkt

Annahmen

Die Koeffizienten werden bis zum Grad 20 mithilfe exakter Formeln für die Ableitungen berechnet, nicht durch numerisches Differenzieren.
Für die Lagrange-Abschätzung wird M = 1 verwendet; das ist für sin x und cos x exakt. Bei den anderen Funktionen hängt M vom Intervall ab, daher wird keine Abschätzung angezeigt.
Der Konvergenzradius um a ist der Abstand von a zum nächstgelegenen Punkt, an dem die Funktion oder ihre Fortsetzung auf die komplexen Zahlen nicht definiert ist, beispielsweise x = −1 für ln(1 + x).
Bei Mittelpunkt 0 wird die Formel mit exakten Brüchen angezeigt, andernfalls mit auf vier signifikante Stellen gerundeten Koeffizienten.

Im Unterricht ausprobieren

Q1Gib das Maclaurinpolynom 4. Grades für cos x an und verwende es, um cos 0.5 abzuschätzen.
Q2Wie viele Glieder der Reihe für eˣ braucht man, um e auf vier Dezimalstellen genau zu berechnen?
Q3Verwenden Sie die Lagrange-Abschätzung, um zu zeigen, dass x − x³/6 sin x für |x| ≤ 0,5 mit einem Fehler von höchstens 0,0003 approximiert.
Q4Warum versagt die Reihe für 1/(1 − x) um 0 bei x = 2, obwohl die Funktion selbst dort definiert ist?
Q5Bestimmen Sie das Taylorpolynom zweiten Grades für √(1 + x) um 0 und verwenden Sie es, um √1,1 näherungsweise zu berechnen.

Häufig gestellte Fragen

Verwenden Taschenrechner wirklich Taylorreihen?

Sie verwenden dieselbe Idee, jedoch verfeinert. Die meisten reduzieren den Winkel zunächst auf einen kleinen Bereich, in dem ein kurzes Polynom sehr genau ist. Viele verwenden CORDIC oder Polynome, die so angepasst sind, dass sich der Fehler gleichmäßig verteilt, statt einfacher Taylor-Glieder.

Warum konvergieren manche Reihen überall und andere nur in der Nähe?

Der Konvergenzradius wird durch den nächstgelegenen Punkt bestimmt, möglicherweise einen komplexen, an dem die Funktion divergiert oder nicht definiert ist. sin x und eˣ haben keinen solchen Punkt, daher konvergieren ihre Reihen überall. ln(1 + x) ist bei x = −1 nicht definiert, daher konvergiert seine Reihe um 0 nur innerhalb eines Abstands von 1.

Ist die Kleinwinkelnäherung sin x ≈ x ein Taylorpolynom?

Ja, es ist das Taylorpolynom ersten (und zweiten) Grades von sin x um 0. Der nächste Term, −x³/6, zeigt den Fehler: etwa 0,2 % bei 0,1 rad und etwa 4 % bei 0,5 rad.