Acerca de este experimento
Una calculadora no puede conocer directamente sin 2, pero sí puede sumar y multiplicar. Un polinomio de Taylor reproduce una función usando solo esas operaciones: coincide con el valor, la pendiente, la curvatura y todas las derivadas de orden superior en un punto. Añade términos uno a uno y observa cómo el polinomio se ajusta a la curva en un tramo cada vez más amplio; descubre dónde se niega a converger, por muchos términos que añadas, y compara el error real con la cota de Lagrange del cálculo.
Objetivos de aprendizaje
- Construye el polinomio de Taylor de una función a partir de sus derivadas en un punto
- Reconoce las series de Maclaurin de sin x, cos x, eˣ, ln(1 + x), 1/(1 − x) y √(1 + x)
- Explica por qué la aproximación es mejor cerca del centro y empeora al alejarse
- Encuentra el intervalo de convergencia y observa que, fuera de él, añadir más términos empeora la aproximación
- Usa el resto de Lagrange para acotar el error de una aproximación
Cómo usarlo
- 1Elige sin x con centro en 0. Añade términos uno a uno. ¿Por qué el gráfico no cambia en pasos alternos?
- 2Con grado 3, mueve el punto de comprobación de 0 a 3. ¿Cómo crece el error? ¿Cuántos términos necesitas para que el error sea inferior a 0,001 en x = 2?
- 3Compara el error real con la cota de Lagrange para varios grados. ¿Es alguna vez la cota menor que el error?
- 4Elige ln(1 + x). Sitúa el punto de comprobación en x = 1.5 y añade términos. ¿Qué ocurre y cómo lo explica la banda verde?
- 5Elige 1/(1 − x) y mueve el centro a −2. ¿Cómo cambia el intervalo de convergencia? ¿Dónde está el punto problemático más cercano?
- 6Elige eˣ y el centro 1. Escribe los tres primeros términos de la fórmula y compáralos con los que aparecen en pantalla.
El modelo
Supuestos
- Los coeficientes se calculan mediante fórmulas exactas para las derivadas, no mediante diferenciación numérica, hasta el grado 20.
- La cota de Lagrange usa M = 1, que es exacto para sin x y cos x. Para las demás funciones, M depende del intervalo, por lo que no se muestra ninguna cota.
- El radio de convergencia alrededor de a es la distancia desde a hasta el punto más cercano en el que la función o su extensión a los números complejos deja de estar definida, como x = −1 para ln(1 + x).
- Con centro 0, la fórmula se muestra con fracciones exactas; en caso contrario, los coeficientes se redondean a cuatro cifras significativas.
Pruébalo en clase
- Q1Escribe el polinomio de Maclaurin de grado 4 para cos x y úsalo para estimar cos 0.5.
- Q2¿Cuántos términos de la serie de eˣ se necesitan para calcular e con cuatro cifras decimales?
- Q3Use la cota de Lagrange para demostrar que x − x³/6 aproxima sin x con un error no mayor que 0,0003 para |x| ≤ 0,5.
- Q4¿Por qué falla en x = 2 la serie de 1/(1 − x) centrada en 0, aunque la propia función esté definida allí?
- Q5Halle el polinomio de Taylor de grado 2 de √(1 + x) centrado en 0 y úselo para estimar √1,1.
Preguntas frecuentes
¿De verdad usan series de Taylor las calculadoras?
Usan la misma idea, pero más refinada. La mayoría reduce primero el ángulo a un intervalo pequeño, donde un polinomio corto es muy preciso. Muchas usan CORDIC o polinomios ajustados para distribuir el error de manera uniforme, en lugar de términos de Taylor simples.
¿Por qué algunas series convergen en todas partes y otras solo cerca?
El radio de convergencia lo determina el punto más cercano, que puede ser complejo, donde la función se dispara o no está definida. sin x y eˣ no tienen ningún punto así, por lo que sus series funcionan en todas partes. ln(1 + x) no está definida en x = −1, así que su serie centrada en 0 solo funciona a una distancia menor que 1.
¿Es la aproximación para ángulos pequeños sin x ≈ x un polinomio de Taylor?
Sí, es el polinomio de Taylor de grado 1 (y de grado 2) de sin x alrededor de 0. El siguiente término, −x³/6, muestra el error: aproximadamente un 0,2 % en 0,1 rad y aproximadamente un 4 % en 0,5 rad.