泰勒多項式

高中數學泰勒多項式 P_n(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!（k 從 0 到 n），係數由精確導數計算

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關於此實驗

計算機無法直接知道 sin 2 的值，但它可以做加法和乘法。泰勒多項式只用這些運算來逼近函數：它在某一點匹配函數值、斜率、曲率，以及所有更高階導數。逐項加入，觀察多項式貼合曲線的範圍如何不斷擴大；看看無論加入多少項都無法收斂的位置；並將實際誤差與微積分得出的拉格朗日誤差界比較。

學習目標

根據函數在某一點的導數構造泰勒多項式
辨認 sin x、cos x、eˣ、ln(1 + x)、1/(1 − x) 和 √(1 + x) 的麥克勞林級數
說明為什麼近似在中心附近最好，而離中心越遠效果越差
求出收斂區間，並觀察在區間之外，增加項數反而會使結果變差
使用拉格朗日餘項來估計近似誤差的上界

使用方法

1選擇以 0 為中心的 sin x。逐項新增。為什麼每隔一步圖形都保持不變？
2將次數設為 3，把檢查點從 0 移到 3。誤差會如何增大？要使 x = 2 處的誤差小於 0.001，需要多少項？
3比較不同次數下的實際誤差與拉格朗日誤差上界。上界會比實際誤差還小嗎？
4選擇 ln(1 + x)。將檢查點設為 x = 1.5，然後新增項。會發生什麼？綠色帶如何解釋這個現象？
5選擇 1/(1 − x)，並將中心移到 −2。收斂區間會如何變化？最近的問題點在哪裡？
6選擇 eˣ 和中心 1。從公式中寫下前三項，並與螢幕上的結果核對。

模型

P_{n} (x) = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} (x - a)^{k}

以 x = a 為中心的 n 次泰勒多項式（a = 0 時為麥克勞林多項式）

sin x = x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} - \dots, e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \dots

對所有 x 都收斂的兩個級數

ln (1 + x) = x - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} - \dots (- 1 < x \leq 1)

收斂區間有限的級數

∣ f (x) - P_{n} (x) ∣ \leq \frac{M ∣ x - a ∣ ^{n + 1}}{( n + 1 )!}

拉格朗日誤差界，其中 M 是 a 與 x 之間 (n + 1) 階導數的上界

假設

係數根據導數的精確公式計算，而非透過數值微分計算，最高可達 20 次。
拉格朗日誤差界的顯示使用 M = 1；對於 sin x 和 cos x，這個值是精確的。對於其他函數，M 取決於區間，因此不顯示誤差界。
以 a 為中心的收斂半徑，是從 a 到函數本身或其複數延伸失效的最近點的距離。例如，ln(1 + x) 在 x = −1 處失效。
中心為 0 時，公式以精確分數顯示；否則，係數會四捨五入至四位有效數字。

在課堂上試試這個實驗

Q1寫出 cos x 的四次麥克勞林多項式，並用它估算 cos 0.5。
Q2要用 eˣ 的級數將 e 精確到小數點後四位，需要多少項？
Q3使用拉格朗日誤差界證明：當 |x| ≤ 0.5 時，x − x³/6 對 sin x 的近似誤差不超過 0.0003。
Q4儘管函數本身在 x = 2 處有定義，為什麼 1/(1 − x) 關於 0 的級數在 x = 2 處卻不成立？
Q5求 √(1 + x) 關於 0 的二次泰勒多項式，並用它估算 √1.1。

常見問題

計算機真的會使用泰勒級數嗎？

它們使用的是經過改良的同一套概念。大多數計算機會先將角度化到一個較小的範圍，在那裡用較短的多項式就能達到很高的精度；許多計算機也會使用 CORDIC，或經過調整以使誤差均勻分布的多項式，而不是直接使用普通的泰勒項。

為什麼有些級數處處收斂，而另一些只在附近收斂？

收斂半徑由離中心最近的、函數發散或無定義的點決定，這個點也可能是複數。sin x 和 eˣ 沒有這樣的點，因此它們的級數處處成立。ln(1 + x) 在 x = −1 處無定義，因此它關於 0 的級數只在距離 1 以內成立。

小角近似 sin x ≈ x 是泰勒多項式嗎？

是的，它是 sin x 在 0 附近的 1 次（也是 2 次）泰勒多項式。下一項 −x³/6 顯示了誤差：在 0.1 rad 時約為 0.2 %，在 0.5 rad 時約為 4 %。