Informazioni su questo esperimento
Una calcolatrice non può conoscere direttamente sin 2, ma può sommare e moltiplicare. Un polinomio di Taylor riproduce una funzione usando solo queste operazioni: in un punto coincide con il valore, la pendenza, la curvatura e tutte le derivate di ordine superiore. Aggiungi i termini uno alla volta e osserva il polinomio aderire alla curva su un tratto sempre più ampio; scopri dove si rifiuta di convergere, per quanti termini tu possa aggiungere, e confronta l’errore effettivo con la maggiorazione di Lagrange del calcolo.
Obiettivi di apprendimento
- Costruisci il polinomio di Taylor di una funzione a partire dalle sue derivate in un punto
- Riconosci le serie di Maclaurin di sin x, cos x, eˣ, ln(1 + x), 1/(1 − x) e √(1 + x)
- Spiega perché l’approssimazione è migliore vicino al centro e peggiora man mano che ci si allontana
- Trova l’intervallo di convergenza e osserva che, al di fuori di esso, aggiungere termini peggiora l’approssimazione
- Usa il resto di Lagrange per stimare un limite superiore dell’errore di un’approssimazione
Come si usa
- 1Scegli sin x con centro 0. Aggiungi i termini uno alla volta. Perché il grafico rimane invariato a ogni passaggio alterno?
- 2Con grado 3, sposta il punto di verifica da 0 a 3. Come aumenta l’errore? Quanti termini servono perché l’errore sia inferiore a 0,001 in x = 2?
- 3Confronta l’errore effettivo con il limite di Lagrange per diversi gradi. Il limite è mai inferiore all’errore?
- 4Scegli ln(1 + x). Imposta il punto di verifica in x = 1.5 e aggiungi termini. Che cosa succede e come lo spiega la banda verde?
- 5Scegli 1/(1 − x) e sposta il centro a −2. Come cambia l’intervallo di convergenza? Dov’è il punto problematico più vicino?
- 6Scegli eˣ e il centro 1. Scrivi i primi tre termini della formula e confrontali con quelli visualizzati sullo schermo.
Il modello
Ipotesi
- I coefficienti vengono calcolati usando formule esatte per le derivate, non tramite derivazione numerica, fino al grado 20.
- La stima di Lagrange visualizzata usa M = 1, valore esatto per sin x e cos x. Per le altre funzioni, M dipende dall’intervallo, quindi non viene mostrata alcuna stima.
- Il raggio di convergenza intorno ad a è la distanza da a al punto più vicino in cui la funzione, o la sua estensione ai numeri complessi, non è più definita, ad esempio x = −1 per ln(1 + x).
- Con centro 0, la formula viene mostrata con frazioni esatte; altrimenti, i coefficienti sono arrotondati a quattro cifre significative.
Provalo in classe
- Q1Scrivi il polinomio di Maclaurin di grado 4 per cos x e usalo per stimare cos 0.5.
- Q2Quanti termini della serie di eˣ servono per calcolare e con quattro cifre decimali?
- Q3Usa il resto di Lagrange per dimostrare che x − x³/6 approssima sin x con un errore non superiore a 0,0003 per |x| ≤ 0,5.
- Q4Perché la serie di 1/(1 − x) centrata in 0 non funziona in x = 2, anche se la funzione stessa è definita lì?
- Q5Trova il polinomio di Taylor di grado 2 di √(1 + x) centrato in 0 e usalo per stimare √1,1.
Domande frequenti
Le calcolatrici usano davvero le serie di Taylor?
Usano la stessa idea, ma perfezionata. La maggior parte riduce prima l’angolo a un intervallo piccolo, dove un polinomio breve è molto preciso. Molte usano CORDIC o polinomi calibrati per distribuire l’errore in modo uniforme, invece di semplici termini di Taylor.
Perché alcune serie convergono ovunque e altre solo nelle vicinanze?
Il raggio di convergenza è determinato dal punto più vicino, eventualmente complesso, in cui la funzione diverge o non è definita. sin x ed eˣ non hanno punti di questo tipo, quindi le loro serie funzionano ovunque. ln(1 + x) non è definita in x = −1, quindi la sua serie centrata in 0 funziona solo entro una distanza di 1.
L’approssimazione per piccoli angoli sin x ≈ x è un polinomio di Taylor?
Sì, è il polinomio di Taylor di grado 1 (e di grado 2) di sin x intorno a 0. Il termine successivo, −x³/6, mostra l’errore: circa lo 0,2% a 0,1 rad e circa il 4% a 0,5 rad.