テイラー多項式シミュレーション

この実験について

電卓は sin 2 の値を直接知ることはできませんが、足し算と掛け算はできます。テイラー多項式は、それらの演算だけを使って関数を再現します。ある一点で関数の値、傾き、曲率、そしてそれ以降のすべての導関数を一致させるのです。項を一つずつ追加して、多項式が曲線に沿う範囲がどんどん広がる様子を見てみましょう。何項追加しても収束しない場所を確認し、実際の誤差と微積分で求めたラグランジュの誤差評価を比べてみましょう。

学習目標

ある点での導関数から関数のテイラー多項式を作る
sin x、cos x、eˣ、ln(1 + x)、1/(1 − x)、√(1 + x) のマクローリン級数を見分ける
近似が中心付近で最もよく、そこから離れるほど精度が悪くなる理由を説明する
収束区間を求め、その範囲外では項を増やすほど結果が悪くなることを確認する
ラグランジュ剰余項を使って近似誤差の上限を求める

使い方

1中心を 0 として sin x を選ぶ。項を1つずつ追加する。なぜ1回おきにグラフが変わらないのか？
2次数を3にして、確認点を0から3へ動かす。誤差はどのように大きくなるか？x = 2 で誤差を0.001未満にするには、何項必要か？
3いくつかの次数について、実際の誤差とラグランジュ上界を比較する。上界が誤差より小さくなることはあるか？
4ln(1 + x) を選ぶ。確認点を x = 1.5 に設定して、項を追加する。何が起きるか。また、緑の帯はそれをどのように説明しているか？
51/(1 − x) を選び、中心を −2 に動かす。収束区間はどのように変わるか？最も近い問題点はどこか？
6eˣ と中心 1 を選びます。公式から最初の 3 項を書き出し、画面に表示された値と照らし合わせてください。

モデル

P_{n} (x) = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} (x - a)^{k}

x = a を中心とする n 次テイラー多項式（a = 0 の場合はマクローリン多項式）

sin x = x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} - \dots, e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \dots

すべての x で収束する 2 つの級数

ln (1 + x) = x - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} - \dots (- 1 < x \leq 1)

収束区間が有限の級数

∣ f (x) - P_{n} (x) ∣ \leq \frac{M ∣ x - a ∣ ^{n + 1}}{( n + 1 )!}

ラグランジュ誤差評価。M は a と x の間で (n + 1) 階導関数の上界となる値です。

前提条件

係数は数値微分ではなく、導関数の厳密な公式から次数 20 まで計算されます。
ラグランジュ誤差評価の表示には M = 1 を使用します。これは sin x と cos x では正確な値です。他の関数では M が区間によって異なるため、誤差評価は表示されません。
a を中心とする収束半径は、関数またはその複素数への拡張が破綻する最も近い点までの距離です。たとえば ln(1 + x) では x = −1 が該当します。
中心が 0 の場合、公式は厳密な分数で表示されます。それ以外の場合は、係数が有効数字 4 桁に丸められて表示されます。

授業で試してみましょう

Q1cos x の 4 次マクローリン多項式を書き、それを使って cos 0.5 を近似してください。
Q2eˣの級数で、eを小数第4位まで求めるには何項必要ですか？
Q3ラグランジュの誤差評価を使って、|x| ≤ 0.5 のとき x − x³/6 が sin x を 0.0003 以内の誤差で近似することを示してください。
Q4関数自体は x = 2 で定義されているのに、なぜ 1/(1 − x) の 0 を中心とする級数は x = 2 で成り立たないのですか？
Q5√(1 + x) の 0 を中心とする2次のテイラー多項式を求め、それを使って √1.1 を近似してください。

よくある質問

電卓は本当にテイラー級数を使っているのですか？

基本的には同じ考え方を、改良して使っています。多くの場合、まず角度を小さな範囲に変換し、その範囲では短い多項式で非常に高精度に近似します。また、単純なテイラー項の代わりに、CORDICや誤差が均等に分散するよう調整された多項式を使うものも多くあります。

ある級数はどこでも収束するのに、別の級数はなぜ近くでしか収束しないのですか？

収束半径は、関数が発散するか定義されていない最も近い点（複素数の点である場合もあります）によって決まります。sin x と eˣ にはそのような点がないため、それらの級数はどこでも成り立ちます。ln(1 + x) は x = −1 で定義されなくなるため、0 を中心とするその級数が成り立つのは距離1以内だけです。

小角近似 sin x ≈ x はテイラー多項式ですか？

はい、これは sin x を 0 のまわりで展開した次数 1（および次数 2）のテイラー多項式です。次の項 −x³/6 が誤差を示しています。誤差は 0.1 rad では約 0.2 %、0.5 rad では約 4 % です。