Français

Polynômes de Taylor

LycéeMathématiquesPolynôme de Taylor P_n(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k! pour k = 0 à n, coefficients obtenus à partir des dérivées exactes

Débloquez ce laboratoire avec un pass

Un pass donne accès à toutes les simulations du site, y compris au mode Présentation pour les cours. Les ressources pédagogiques ci-dessous restent gratuites pour tout le monde.

Voir les passJ’ai déjà un pass

Paiement unique, sans abonnement.

À propos de cette expérience

Une calculatrice ne peut pas connaître directement sin 2, mais elle peut additionner et multiplier. Un polynôme de Taylor reproduit une fonction en n’utilisant que ces opérations : il coïncide en un point avec la valeur, la pente, la courbure et toutes les dérivées d’ordre supérieur. Ajoutez les termes un à un et observez le polynôme épouser la courbe sur un intervalle de plus en plus large. Voyez où il refuse de converger, quel que soit le nombre de termes ajoutés, et comparez l’erreur réelle à la majoration de Lagrange issue du calcul différentiel.

Objectifs pédagogiques

  • Construis le polynôme de Taylor d’une fonction à partir de ses dérivées en un point
  • Reconnais les séries de Maclaurin de sin x, cos x, eˣ, ln(1 + x), 1/(1 − x) et √(1 + x)
  • Explique pourquoi l’approximation est meilleure près du centre et se dégrade à mesure qu’on s’en éloigne
  • Trouve l’intervalle de convergence et constate qu’en dehors de celui-ci, ajouter des termes dégrade l’approximation
  • Utilise le reste de Lagrange pour majorer l’erreur d’une approximation

Comment l’utiliser

  1. 1Choisis sin x avec pour centre 0. Ajoute les termes un à un. Pourquoi le graphique reste-t-il inchangé un terme sur deux ?
  2. 2Avec un degré 3, déplace le point de vérification de 0 à 3. Comment l’erreur augmente-t-elle ? Combien de termes faut-il pour que l’erreur soit inférieure à 0,001 en x = 2 ?
  3. 3Compare l’erreur réelle avec la borne de Lagrange pour plusieurs degrés. La borne est-elle parfois inférieure à l’erreur ?
  4. 4Choisis ln(1 + x). Place le point de vérification en x = 1.5 et ajoute des termes. Que se passe-t-il, et comment la bande verte l’explique-t-elle ?
  5. 5Choisis 1/(1 − x) et déplace le centre en −2. Comment l’intervalle de convergence change-t-il ? Où se trouve le point problématique le plus proche ?
  6. 6Choisissez eˣ et le centre 1. Notez les trois premiers termes de la formule et comparez-les à ceux affichés à l’écran.

Le modèle

Polynôme de Taylor de degré n au voisinage de x = a (de Maclaurin lorsque a = 0)
Deux séries qui convergent pour tout x
Une série dont l’intervalle de convergence est limité
Majoration du reste de Lagrange, où M majore la dérivée d’ordre (n + 1) entre a et x

Hypothèses

  • Les coefficients sont calculés à partir de formules exactes pour les dérivées, et non par dérivation numérique, jusqu’au degré 20.
  • La valeur affichée pour la majoration de Lagrange utilise M = 1, ce qui est exact pour sin x et cos x. Pour les autres fonctions, M dépend de l’intervalle ; aucune majoration n’est donc affichée.
  • Le rayon de convergence autour de a est la distance entre a et le point le plus proche où la fonction, ou son prolongement aux nombres complexes, cesse d’être définie, par exemple x = −1 pour ln(1 + x).
  • Lorsque le centre est 0, la formule est affichée avec des fractions exactes ; sinon, les coefficients sont arrondis à quatre chiffres significatifs.

À essayer en classe

  1. Q1Écrivez le polynôme de Maclaurin de degré 4 pour cos x et utilisez-le pour estimer cos 0.5.
  2. Q2Combien de termes de la série de eˣ faut-il pour calculer e avec quatre décimales ?
  3. Q3Utilisez la majoration de Lagrange pour montrer que x − x³/6 approche sin x avec une erreur inférieure ou égale à 0,0003 lorsque |x| ≤ 0,5.
  4. Q4Pourquoi la série de 1/(1 − x) centrée en 0 échoue-t-elle en x = 2, alors que la fonction elle-même y est définie ?
  5. Q5Déterminez le polynôme de Taylor de degré 2 de √(1 + x) centré en 0 et utilisez-le pour estimer √1,1.

Foire aux questions

Les calculatrices utilisent-elles vraiment les séries de Taylor ?

Elles utilisent la même idée, mais de façon perfectionnée. La plupart ramènent d’abord l’angle à un petit intervalle, où un polynôme court est très précis. Beaucoup utilisent CORDIC ou des polynômes ajustés pour répartir l’erreur uniformément, plutôt que de simples termes de Taylor.

Pourquoi certaines séries convergent-elles partout et d’autres seulement à proximité ?

Le rayon de convergence est déterminé par le point le plus proche, éventuellement complexe, où la fonction diverge ou n’est pas définie. sin x et eˣ n’ont aucun point de ce type, donc leurs séries fonctionnent partout. ln(1 + x) n’est pas définie en x = −1 : sa série centrée en 0 ne fonctionne donc qu’à une distance inférieure à 1.

L’approximation des petits angles sin x ≈ x est-elle un polynôme de Taylor ?

Oui, c’est le polynôme de Taylor de degré 1 (et de degré 2) de sin x au voisinage de 0. Le terme suivant, −x³/6, indique l’erreur : environ 0,2 % à 0,1 rad et environ 4 % à 0,5 rad.