이 실험 소개
직각삼각형의 각 변에 정사각형을 그리면 두 작은 정사각형의 넓이를 더한 값은 항상 가장 큰 정사각형의 넓이와 같습니다. 두 직각변의 길이를 바꾸고 단위 정사각형을 세어 모든 크기에서 이 관계가 성립하는지 확인해 보세요. 그런 다음 C의 각을 벌리거나 좁혀 등식이 정확히 90°일 때만 성립한다는 것, 즉 정리의 역이 성립한다는 점을 알아보세요. 재배열 보기에서는 가장 오래된 증명 중 하나를 확인할 수 있습니다. 같은 네 개의 삼각형으로 큰 정사각형을 두 가지 방법으로 채우면, 한 그림에는 c²이 남고 다른 그림에는 a² + b²이 남습니다.
학습 목표
- 피타고라스 정리를 말하고 직각삼각형의 빗변을 찾기
- 모든 직각삼각형에서 a² + b² = c²임을 넓이로 보여 줍니다
- 역을 이용해 삼각형이 직각삼각형, 예각삼각형, 둔각삼각형 중 무엇인지 판별합니다
- 도형을 재배열하는 정리의 시각적 증명을 따라가 봅니다
사용 방법
- 13, 4, 5 삼각형을 선택하고 세 정사각형 각각에 있는 단위 정사각형의 개수를 세어 보세요.
- 2슬라이더로 a와 b를 바꾸고, 각도가 90°일 때 a² + b²가 항상 c²와 같은지 확인하세요.
- 3아래의 각 C 슬라이더를 움직여 90°보다 작거나 크게 해 보세요. 매번 a² + b²와 c²를 비교하세요.
- 4재배열 증명으로 전환한 다음 버튼을 누르세요. 덮이지 않은 넓이가 변하지 않는 이유를 설명하세요.
모델
가정
- 모든 도형은 평면 위에 정확하게 그려져 있습니다. 변의 길이는 0.5 단위씩 설정할 수 있습니다.
- 각 변을 바깥쪽으로 하여 정사각형을 만듭니다. 변의 길이가 정수가 아니면 단위 격자에 남는 띠 모양의 부분이 표시됩니다.
수업에서 해 보기
- Q1변의 길이가 6, 8, 10인 삼각형이 있습니다. 직각삼각형일까요? 시뮬레이션에서 확인해 보세요.
- Q2두 직각변의 길이를 모두 2배로 늘리면 빗변과 각 정사각형의 넓이는 어떻게 되나요?
- Q3a = 3, b = 4일 때 c = 6이 되려면 각 C는 얼마인가요? 이 삼각형은 예각삼각형인가요, 둔각삼각형인가요?
- Q4도형을 재배열하는 증명에서 첫 번째 그림의 안쪽 도형은 왜 단순한 마름모가 아니라 정사각형이어야 하나요?
자주 묻는 질문
이 정리를 발견한 사람은 누구인가요?
피타고라스의 이름을 따서 부르지만, 이 관계는 훨씬 이전부터 알려져 있었습니다. 바빌로니아의 점토판에는 피타고라스보다 약 1,000년 전에 피타고라스 수가 기록되어 있으며, 고대 중국의 문헌인 『주비산경』은 3, 4, 5 삼각형의 그림으로 이 관계를 설명합니다.
피타고라스 수란 무엇인가요?
a² + b² = c²를 만족하는 세 정수입니다. 예를 들면 3, 4, 5 또는 5, 12, 13이 있습니다. 6, 8, 10처럼 피타고라스 수의 각 수에 같은 수를 곱한 조합도 피타고라스 수입니다.
직각이 없는 삼각형에도 성립하나요?
아니요. 예각에서는 a² + b²가 c²보다 크고, 둔각에서는 더 작습니다. 코사인 법칙에는 90°일 때만 0이 되는 보정항이 더해집니다.