Simulation de Théorème de Pythagore

À propos de cette expérience

Construisez un carré sur chacun des côtés d’un triangle rectangle : les deux petits carrés ont toujours une aire totale égale à celle du plus grand. Modifiez les côtés de l’angle droit, comptez les carrés unité et constatez que la relation est vraie quelle que soit leur longueur. Ouvrez ou refermez ensuite l’angle en C pour découvrir que l’égalité ne fonctionne que lorsque l’angle mesure exactement 90° : c’est la réciproque du théorème. La vue du réarrangement montre l’une des plus anciennes démonstrations : les mêmes quatre triangles remplissent un grand carré de deux façons, laissant c² dans une figure et a² + b² dans l’autre.

Objectifs pédagogiques

Énoncer le théorème de Pythagore et identifier l’hypoténuse d’un triangle rectangle
Montre avec les aires que a² + b² = c² pour tout triangle rectangle
Utilise la réciproque pour déterminer si un triangle est rectangle, aigu ou obtus
Suis une démonstration visuelle du théorème par réarrangement

Comment l’utiliser

1Choisis le triangle 3-4-5 et compte les carrés unités dans chacun des trois carrés.
2Modifie a et b à l’aide des curseurs et vérifie que a² + b² est toujours égal à c² lorsque l’angle mesure 90°.
3Déplace le curseur de l’angle C en dessous et au-dessus de 90°. Compare a² + b² à c² à chaque fois.
4Passe à la démonstration par réarrangement et appuie sur le bouton. Explique pourquoi la surface non recouverte ne change pas.

Le modèle

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Théorème de Pythagore, où c est le côté opposé à l’angle droit

c = a^{2} + b^{2}

Longueur de l’hypoténuse

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C

Loi des cosinus : la règle générale pour tout angle C

(a + b)^{2} = 4 \cdot \frac{1}{2} ab + c^{2}

Aire du grand carré dans la démonstration par réarrangement

Hypothèses

Toutes les figures sont tracées avec précision sur un plan. Les longueurs des côtés peuvent être réglées par incréments de 0,5 unité.
Des carrés sont construits vers l’extérieur sur chaque côté. Lorsqu’un côté n’est pas un nombre entier, le quadrillage unité montre la bande restante.

À essayer en classe

Q1Un triangle a des côtés de longueurs 6, 8 et 10. Est-ce un triangle rectangle ? Vérifiez-le dans la simulation.
Q2Si l’on double les deux côtés de l’angle droit, que se passe-t-il pour l’hypoténuse et pour l’aire de chacun des carrés ?
Q3Avec a = 3 et b = 4, quelle valeur doit avoir l’angle C pour que c = 6 ? Le triangle est-il acutangle ou obtusangle ?
Q4Dans la démonstration par réarrangement, pourquoi la forme intérieure de la première image doit-elle être un carré et pas seulement un losange ?

Foire aux questions

Qui a découvert le théorème ?

Le théorème porte le nom de Pythagore, mais cette relation était connue bien avant lui. Des tablettes d’argile babyloniennes recensent des triplets pythagoriciens datant d’environ 1 000 ans avant son époque, et l’ancien texte chinois Zhoubi Suanjing l’explique à l’aide d’un schéma du triangle 3, 4, 5.

Qu’est-ce qu’un triplet pythagoricien ?

Trois nombres entiers qui vérifient a² + b² = c², comme 3, 4, 5 ou 5, 12, 13. Tout multiple d’un triplet, comme 6, 8, 10, est également un triplet pythagoricien.

Cela fonctionne-t-il aussi pour les triangles qui n’ont pas d’angle droit ?

Non. Pour un angle aigu, a² + b² est supérieur à c², et pour un angle obtus, il est inférieur. La loi des cosinus ajoute un terme correctif qui n’est nul qu’à 90°.