Simulación de Teorema de Pitágoras

Acerca de este experimento

Dibuja un cuadrado sobre cada lado de un triángulo rectángulo y los dos cuadrados más pequeños siempre sumarán lo mismo que el más grande. Cambia los catetos, cuenta los cuadrados unidad y comprueba que la relación se cumple para cualquier tamaño. Después, abre o cierra el ángulo en C para descubrir que la igualdad solo se cumple cuando mide exactamente 90°; esta es la recíproca del teorema. La vista del reordenamiento muestra una de las demostraciones más antiguas: los mismos cuatro triángulos llenan un cuadrado grande de dos maneras, dejando c² en una figura y a² + b² en la otra.

Objetivos de aprendizaje

Enunciar el teorema de Pitágoras e identificar la hipotenusa de un triángulo rectángulo
Muestra con áreas que a² + b² = c² para cualquier triángulo rectángulo
Usa el recíproco para decidir si un triángulo es rectángulo, acutángulo u obtusángulo
Sigue una demostración visual del teorema mediante reordenamiento

Cómo usarlo

1Elige el triángulo 3-4-5 y cuenta los cuadrados unidad en cada uno de los tres cuadrados.
2Cambia a y b con los deslizadores y comprueba que a² + b² siempre es igual a c² cuando el ángulo es de 90°.
3Mueve el deslizador del ángulo C por debajo y por encima de 90°. Compara a² + b² con c² cada vez.
4Cambia a la demostración por reordenamiento y pulsa el botón. Explica por qué el área que queda sin cubrir no cambia.

El modelo

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Teorema de Pitágoras, donde c es el lado opuesto al ángulo recto

c = a^{2} + b^{2}

Longitud de la hipotenusa

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C

Ley de los cosenos: la regla general para cualquier ángulo C

(a + b)^{2} = 4 \cdot \frac{1}{2} ab + c^{2}

Área del cuadrado grande en la demostración por reordenamiento

Supuestos

Todas las figuras están dibujadas exactamente sobre un plano. Las longitudes de los lados se pueden ajustar en incrementos de 0,5 unidades.
Se construyen cuadrados hacia fuera sobre cada lado. Cuando un lado no es un número entero, la cuadrícula de unidades muestra la franja sobrante.

Pruébalo en clase

Q1Un triángulo tiene lados de 6, 8 y 10. ¿Es un triángulo rectángulo? Compruébalo en la simulación.
Q2Si se duplican los dos catetos, ¿qué ocurre con la hipotenusa y con el área de cada cuadrado?
Q3Con a = 3 y b = 4, ¿qué ángulo C hace que c = 6? ¿El triángulo es acutángulo u obtusángulo?
Q4En la demostración por reordenación, ¿por qué la figura interior de la primera imagen tiene que ser un cuadrado y no solo un rombo?

Preguntas frecuentes

¿Quién descubrió el teorema?

Lleva el nombre de Pitágoras, pero esta relación ya se conocía mucho antes. Las tablillas de arcilla babilónicas incluyen ternas pitagóricas de unos 1.000 años antes de su época, y el antiguo texto chino Zhoubi Suanjing la explica con un diagrama del triángulo 3, 4, 5.

¿Qué es una terna pitagórica?

Tres números enteros que cumplen a² + b² = c², como 3, 4, 5 o 5, 12, 13. Cualquier múltiplo de una terna, como 6, 8, 10, también es una terna pitagórica.

¿Se cumple también en triángulos que no tienen un ángulo recto?

No. Para un ángulo agudo, a² + b² es mayor que c², y para un ángulo obtuso es menor. La ley de los cosenos añade un término de corrección que solo es cero a 90°.