この実験について
直角三角形の各辺に正方形を描くと、2つの小さな正方形の面積の和は、常に一番大きな正方形の面積と等しくなります。直角をはさむ2辺の長さを変え、単位正方形を数えて、どんな大きさでもこの関係が成り立つことを確かめましょう。次に、C の角を開いたり閉じたりして、等式がちょうど90°のときにしか成り立たないこと、つまり定理の逆が成り立つことを見つけましょう。組み替え表示では、最も古い証明の一つを確認できます。同じ4つの三角形を2通りの方法で大きな正方形に敷き詰めると、一方の図では c² が、もう一方では a² + b² が残ります。
学習目標
- ピタゴラスの定理を述べ、直角三角形の斜辺を特定する
- 任意の直角三角形で a² + b² = c² となることを、面積を使って示します
- 三角形が直角三角形、鋭角三角形、鈍角三角形のどれかを、逆を使って判定します
- 図形を並べ替える定理の視覚的な証明をたどります
使い方
- 13、4、5の三角形を選び、3つの正方形それぞれにある単位正方形の数を数えます。
- 2スライダーで a と b を変え、角度が90°のとき a² + b² が常に c² と等しいことを確かめます。
- 3下の角度 C のスライダーを動かして、90°より小さくしたり大きくしたりします。そのたびに a² + b² と c² を比べます。
- 4並べ替えによる証明に切り替えて、ボタンを押します。覆われていない面積が変わらない理由を説明してください。
モデル
前提条件
- すべての図形は平面上に正確に描かれています。辺の長さは0.5単位刻みで設定できます。
- 各辺の外側に正方形を作ります。辺の長さが整数でない場合、単位格子に余った帯状の部分が表示されます。
授業で試してみましょう
- Q1辺の長さが6、8、10の三角形があります。これは直角三角形でしょうか？シミュレーションで確かめてみましょう。
- Q22つの直角をはさむ辺の長さをどちらも2倍にすると、斜辺とそれぞれの正方形の面積はどうなりますか？
- Q3a = 3、b = 4のとき、c = 6となる角Cは何度ですか？この三角形は鋭角三角形ですか、それとも鈍角三角形ですか？
- Q4図形を組み替える証明で、最初の図の内側の図形が単なるひし形ではなく、正方形でなければならないのはなぜですか？
よくある質問
この定理を発見したのは誰ですか？
ピタゴラスの名にちなんでいますが、この関係はずっと以前から知られていました。バビロニアの粘土板には、ピタゴラスより約1,000年も前のピタゴラス数が記されています。また、古代中国の書物『周髀算経』では、3、4、5の三角形の図を使ってこの関係が説明されています。
ピタゴラス数とは何ですか？
a² + b² = c²を満たす3つの整数のことで、たとえば3、4、5や5、12、13があります。6、8、10のように、ピタゴラス数の各数を同じ数倍したものもピタゴラス数です。
直角のない三角形でも成り立ちますか？
いいえ。鋭角の場合は a² + b² が c² より大きく、鈍角の場合は小さくなります。余弦定理では、90°のときにのみゼロになる補正項が加わります。