Satz des Pythagoras-Simulation

Über dieses Experiment

Zeichne auf jeder Seite eines rechtwinkligen Dreiecks ein Quadrat: Die beiden kleineren Quadrate ergeben zusammen immer das größte. Verändere die Katheten, zähle die Einheitsquadrate und beobachte, dass die Beziehung bei jeder Größe gilt. Öffne oder schließe dann den Winkel bei C, um herauszufinden, dass die Gleichheit nur bei genau 90° gilt, das ist die Umkehrung des Satzes. Die Ansicht zur Umordnung zeigt einen der ältesten Beweise: Dieselben vier Dreiecke füllen ein großes Quadrat auf zwei Arten und lassen in einer Abbildung c² und in der anderen a² + b² frei.

Lernziele

Den Satz des Pythagoras formulieren und die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks bestimmen
Veranschauliche mit Flächen, dass a² + b² = c² für jedes rechtwinklige Dreieck gilt
Verwende die Umkehrung, um zu entscheiden, ob ein Dreieck rechtwinklig, spitzwinklig oder stumpfwinklig ist
Verfolge einen visuellen Beweis des Satzes durch Umlegen

Anleitung

1Wähle das 3-4-5-Dreieck und zähle die Einheitsquadrate in jedem der drei Quadrate.
2Verändere a und b mit den Schiebereglern und prüfe, ob a² + b² bei einem Winkel von 90° immer gleich c² ist.
3Bewege den Schieberegler für den Winkel C unter und über 90°. Vergleiche jedes Mal a² + b² mit c².
4Wechsle zum Umlegebeweis und drücke den Knopf. Erkläre, warum sich die nicht bedeckte Fläche nicht verändert.

Das Modell

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Satz des Pythagoras, wobei c die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite ist

c = a^{2} + b^{2}

Länge der Hypotenuse

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C

Kosinussatz: die allgemeine Regel für jeden Winkel C

(a + b)^{2} = 4 \cdot \frac{1}{2} ab + c^{2}

Fläche des großen Quadrats im Umlegebeweis

Annahmen

Alle Formen sind exakt auf einer ebenen Fläche gezeichnet. Seitenlängen lassen sich in Schritten von 0,5 Einheiten einstellen.
Auf jeder Seite werden nach außen Quadrate errichtet. Ist eine Seite keine ganze Zahl, zeigt das Einheitsraster den verbleibenden Streifen.

Im Unterricht ausprobieren

Q1Ein Dreieck hat die Seitenlängen 6, 8 und 10. Ist es ein rechtwinkliges Dreieck? Überprüfe es in der Simulation.
Q2Was passiert mit der Hypotenuse und den Flächeninhalten der beiden Quadrate, wenn beide Katheten verdoppelt werden?
Q3Welchen Winkel muss C bei a = 3 und b = 4 haben, damit c = 6 gilt? Ist das Dreieck spitz- oder stumpfwinklig?
Q4Warum muss die innere Form im ersten Bild beim Umordnungsbeweis ein Quadrat und darf nicht nur eine Raute sein?

Häufig gestellte Fragen

Wer hat den Satz entdeckt?

Der Satz ist nach Pythagoras benannt, doch die Beziehung war schon viel früher bekannt. Babylonische Tontafeln enthalten pythagoreische Zahlentripel, die etwa 1.000 Jahre vor seiner Zeit bekannt waren, und der altchinesische Text Zhoubi Suanjing erklärt sie anhand einer Zeichnung des 3-4-5-Dreiecks.

Was ist ein pythagoreisches Zahlentripel?

Drei ganze Zahlen, die a² + b² = c² erfüllen, zum Beispiel 3, 4, 5 oder 5, 12, 13. Auch jedes Vielfache eines solchen Tripels, etwa 6, 8, 10, ist ein pythagoreisches Zahlentripel.

Gilt das auch für Dreiecke ohne rechten Winkel?

Nein. Bei einem spitzen Winkel ist a² + b² größer als c², bei einem stumpfen Winkel kleiner. Der Kosinussatz fügt einen Korrekturterm hinzu, der nur bei 90° null ist.