Simulazione di Teorema di Pitagora

Informazioni su questo esperimento

Disegna un quadrato su ciascun lato di un triangolo rettangolo: i due quadrati più piccoli insieme hanno sempre la stessa area del più grande. Modifica i cateti, conta i quadrati unitari e verifica che la relazione valga per qualsiasi dimensione. Poi apri o chiudi l’angolo in C per scoprire che l’uguaglianza vale solo quando l’angolo misura esattamente 90°: questa è l’inversa del teorema. La vista del riarrangiamento mostra una delle dimostrazioni più antiche: gli stessi quattro triangoli riempiono un quadrato grande in due modi, lasciando c² in una figura e a² + b² nell’altra.

Obiettivi di apprendimento

Enunciare il teorema di Pitagora e individuare l’ipotenusa di un triangolo rettangolo
Mostra con le aree che a² + b² = c² per qualsiasi triangolo rettangolo
Usa il teorema inverso per decidere se un triangolo è rettangolo, acutangolo o ottusangolo
Segui una dimostrazione visiva del teorema per riarrangiamento

Come si usa

1Scegli il triangolo 3-4-5 e conta i quadrati unitari in ciascuno dei tre quadrati.
2Modifica a e b con i cursori e verifica che a² + b² sia sempre uguale a c² quando l’angolo è di 90°.
3Sposta il cursore dell’angolo C sotto e sopra i 90°. Confronta ogni volta a² + b² con c².
4Passa alla dimostrazione per riarrangiamento e premi il pulsante. Spiega perché l’area non coperta non cambia.

Il modello

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Teorema di Pitagora, dove c è il lato opposto all’angolo retto

c = a^{2} + b^{2}

Lunghezza dell’ipotenusa

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C

Teorema del coseno: la regola generale per qualsiasi angolo C

(a + b)^{2} = 4 \cdot \frac{1}{2} ab + c^{2}

Area del quadrato grande nella dimostrazione per riarrangiamento

Ipotesi

Tutte le figure sono disegnate con precisione su un piano. Le lunghezze dei lati si possono impostare a incrementi di 0,5 unità.
Su ciascun lato vengono costruiti quadrati verso l’esterno. Se un lato non è un numero intero, la griglia unitaria mostra la striscia rimanente.

Provalo in classe

Q1Un triangolo ha lati di lunghezza 6, 8 e 10. È un triangolo rettangolo? Verificalo nella simulazione.
Q2Se entrambi i cateti vengono raddoppiati, cosa succede all’ipotenusa e all’area di ciascun quadrato?
Q3Con a = 3 e b = 4, quale angolo C fa sì che c = 6? Il triangolo è acutangolo o ottusangolo?
Q4Nella dimostrazione per riarrangiamento, perché la figura interna nella prima immagine deve essere un quadrato e non semplicemente un rombo?

Domande frequenti

Chi ha scoperto il teorema?

Il teorema prende il nome da Pitagora, ma questa relazione era nota molto prima. Le tavolette d’argilla babilonesi riportano terne pitagoriche risalenti a circa 1.000 anni prima della sua epoca, e l’antico testo cinese Zhoubi Suanjing la spiega con un diagramma del triangolo 3, 4, 5.

Che cos’è una terna pitagorica?

Tre numeri interi che soddisfano a² + b² = c², come 3, 4, 5 oppure 5, 12, 13. Anche qualsiasi multiplo di una terna, come 6, 8, 10, è una terna pitagorica.

Vale anche per i triangoli senza un angolo retto?

No. Per un angolo acuto, a² + b² è maggiore di c², mentre per un angolo ottuso è minore. Il teorema del coseno aggiunge un termine correttivo che è nullo solo a 90°.