關於此實驗
在直角三角形的每條邊上畫一個正方形，兩個較小正方形的面積總和總是等於最大正方形的面積。改變兩條直角邊的長度，數一數單位正方形，看看這個關係是否對各種尺寸都成立。接著張開或收小 C 角，便會發現只有當角度恰好為 90° 時等式才成立，這就是該定理的逆定理。重排檢視畫面展示了最古老的證明之一：用相同的四個三角形以兩種方式填滿一個大正方形，一幅圖中剩下 c²，另一幅圖中剩下 a² + b²。
學習目標
- 陳述畢氏定理，並找出直角三角形的斜邊
- 用面積說明任意直角三角形都滿足 a² + b² = c²
- 使用逆定理判斷一個三角形是直角、銳角還是鈍角三角形
- 跟隨圖示，了解透過重新排列證明定理的過程
使用方法
- 1選擇 3、4、5 三角形，數一數三個正方形中各有多少個單位正方形。
- 2用滑桿調整 a 和 b，並確認當角度為 90° 時，a² + b² 始終等於 c²。
- 3移動下方的角 C 滑桿，使角度小於或大於 90°。每次都比較 a² + b² 和 c²。
- 4切換到重新排列證明並按下按鈕。說明未被覆蓋的面積為何不會改變。
模型
假設
- 所有圖形都精確地繪製在平面上。邊長可以按 0.5 個單位遞增設定。
- 在每條邊的外側構造正方形。當邊長不是整數時，單位網格會顯示剩餘的條狀部分。
在課堂上試試這個實驗
- Q1一個三角形的邊長分別為6、8和10。它是直角三角形嗎？在模擬中驗證看看。
- Q2如果兩條直角邊都擴大為原來的2倍，斜邊和每個正方形的面積會有什麼變化？
- Q3當 a = 3、b = 4 時，要使 c = 6，角C是多少度？這個三角形是銳角三角形還是鈍角三角形？
- Q4在重新拼排的證明中，為什麼第一張圖裡的內側圖形必須是正方形，而不能只是菱形？
常見問題
是誰發現了這個定理？
這個定理以畢達哥拉斯命名，但這種關係早在他之前就已為人所知。巴比倫泥板記載了畢達哥拉斯三元組，時間比他早約1,000年；古代中國典籍《周髀算經》則以3、4、5三角形的圖示解釋了這種關係。
什麼是畢達哥拉斯三元組？
滿足 a² + b² = c² 的三個整數，例如3、4、5或5、12、13。三元組中的每個數乘以相同的數，所得的組合也仍是三元組，例如6、8、10。
它對沒有直角的三角形也成立嗎？
不。對於銳角，a² + b² 大於 c²；對於鈍角，則小於 c²。餘弦定理會加上一個修正項，而這個修正項只有在 90° 時才為零。