关于此实验
在直角三角形的每条边上画一个正方形，两个较小正方形的面积之和总是等于最大正方形的面积。改变两条直角边的长度，数一数单位正方形，看看这个关系是否对各种尺寸都成立。然后张开或收小 C 角，发现只有当角度恰好为 90° 时等式才成立，这就是该定理的逆定理。重排视图展示了最古老的证明之一：用相同的四个三角形以两种方式填满一个大正方形，一幅图中剩下 c²，另一幅图中剩下 a² + b²。
学习目标
- 陈述勾股定理，并找出直角三角形的斜边
- 用面积说明任意直角三角形都满足 a² + b² = c²
- 使用逆定理判断一个三角形是直角、锐角还是钝角三角形
- 跟随图示，了解通过重新排列证明定理的过程
使用方法
- 1选择 3、4、5 三角形，数一数三个正方形中各有多少个单位正方形。
- 2用滑块调整 a 和 b，并确认当角度为 90° 时，a² + b² 始终等于 c²。
- 3移动下方的角 C 滑块，使角度小于或大于 90°。每次都比较 a² + b² 和 c²。
- 4切换到重新排列证明并按下按钮。说明未被覆盖的面积为何不会改变。
模型
假设
- 所有图形都精确地绘制在平面上。边长可以按 0.5 个单位递增设置。
- 在每条边的外侧构造正方形。当边长不是整数时，单位网格会显示剩余的条状部分。
在课堂上试试这个实验
- Q1一个三角形的边长分别为6、8和10。它是直角三角形吗？在模拟中验证一下。
- Q2如果两条直角边都扩大到原来的2倍，斜边和每个正方形的面积会发生什么变化？
- Q3当 a = 3、b = 4 时，要使 c = 6，角C是多少度？这个三角形是锐角三角形还是钝角三角形？
- Q4在重新拼排的证明中，为什么第一幅图里的内侧图形必须是正方形，而不能只是菱形？
常见问题
是谁发现了这个定理？
这个定理以毕达哥拉斯命名，但这种关系早在他之前就已为人所知。巴比伦泥板记载了毕达哥拉斯三元组，时间比他早约1,000年；古代中国典籍《周髀算经》则用3、4、5三角形的图示解释了这种关系。
什么是毕达哥拉斯三元组？
满足 a² + b² = c² 的三个整数，例如3、4、5或5、12、13。三元组中每个数乘以相同的数，得到的组合也仍是三元组，例如6、8、10。
它对没有直角的三角形也成立吗？
不。对于锐角，a² + b² 大于 c²；对于钝角，则小于 c²。余弦定理会加上一个修正项，而这个修正项只有在 90° 时才为零。