이 실험 소개
이차 곡면 위를 이동하며 등고선 지도, 정의역의 그래디언트, 방향 접선을 비교해 보세요. 계수를 바꿔 그릇형, 안장형, 능선형 또는 평탄한 장을 만들고 그래디언트가 0이 되는 곳을 살펴보세요.
학습 목표
- 스칼라장에서 그래디언트 성분을 계산합니다.
- 방향 도함수와 그래디언트의 투영을 비교합니다.
- 등고선의 방향과 국소적인 최대 상승 방향의 관계를 살펴봅니다.
사용 방법
- 1곡면을 클릭하고 새 프로브 위치에서 그래디언트를 기록합니다.
- 2시작점의 그래디언트 방향을 따라 오르막과 내리막으로 이동합니다.
- 3선택한 영역 방향으로 회전시키고, 그 방향 미분을 기울기의 크기와 비교합니다.
- 4안장점을 만들고 그 중심에서 기울기가 0이 되는지 살펴봅니다.
모델
가정
- 함수, 기울기, 방향 미분은 해석적으로 계산됩니다. 등고선은 샘플링된 격자에서 결정론적 마칭 스퀘어 알고리즘으로 그려집니다.
- 곡면의 높이는 표시 스케일에 보고된 배율만큼 압축됩니다. 파란색 접선은 표시된 높이 스케일을 따르지만, 수치 미분에는 원래 함수가 사용됩니다.
- 이동은 초기 단위 기울기 방향으로 유한한 거리를 진행하며, 표시된 영역의 경계에서 멈춥니다. 큰 스텝을 사용한다고 해서 모든 이차 함수의 값이 감소하는 것은 아닙니다.
- 가독성을 위해 화살표 길이에는 상한이 적용됩니다. 크기를 확인하려면 수치 성분을 사용하세요.
수업에서 해 보기
- Q1안장점에서는 왜 최소점이 아닌데도 기울기가 0일까요?
- Q2매끄러운 등고선에 접하는 방향의 방향 미분은 왜 0일까요?
자주 묻는 질문
그래디언트 자체가 3차원 접선 화살표인가요?
아닙니다. 그래디언트는 x-y 정의역의 벡터입니다. 파란색 화살표는 선택한 정의역 방향을 표시된 그래프의 접선 방향으로 별도로 들어 올린 것입니다.
그래디언트가 0이면 주변의 함수값이 모두 같아지나요?
아닙니다. 그 점에서 1차 변화가 사라진다는 뜻입니다. 곡률에 따라 여전히 최소점, 최대점 또는 안장점이 될 수 있습니다.