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Gradienten und Höhenlinienkarten

UniversitätMathematikAnalytisches quadratisches Skalarfeld, exakter Gradient und Richtungsableitung mit abgetasteter Höhenliniengeometrie

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Über dieses Experiment

Bewegen Sie sich auf einer quadratischen Fläche und vergleichen Sie ihre Höhenlinienkarte mit dem Gradienten im Definitionsbereich und der tangentialen Richtungsableitung. Ändern Sie die Koeffizienten, um eine Schüssel, einen Sattel, einen Grat oder ein flaches Feld zu erzeugen, und untersuchen Sie, wo der Gradient verschwindet.

Lernziele

  • Berechnen Sie die Gradientenkomponenten eines Skalarfelds.
  • Vergleichen Sie eine Richtungsableitung mit der Projektion des Gradienten.
  • Setzen Sie die Ausrichtung der Höhenlinien mit dem lokalen steilsten Anstieg in Beziehung.

Anleitung

  1. 1Klicken Sie auf die Fläche und erfassen Sie den Gradienten am neuen Messpunkt.
  2. 2Gehen Sie mithilfe der Gradientenrichtung am Startpunkt bergauf und bergab.
  3. 3Drehen Sie die gewählte Richtung im Definitionsbereich und vergleichen Sie ihre Richtungsableitung mit dem Betrag des Gradienten.
  4. 4Erzeugen Sie einen Sattelpunkt und untersuchen Sie den Gradienten, der in dessen Zentrum null ist.

Das Modell

Die Koeffizienten definieren ein allgemeines quadratisches Skalarfeld.
Der Gradient liegt im zweidimensionalen Definitionsbereich.
Die maximale Richtungsableitung entspricht dem Betrag des Gradienten.

Annahmen

  • Die Funktion, der Gradient und die Richtungsableitung sind analytisch. Die Höhenlinien werden mit einem deterministischen Marching-Squares-Verfahren auf einem abgetasteten Gitter berechnet.
  • Die Oberflächenhöhe wird durch den angegebenen Anzeigemaßstab komprimiert. Die blaue Tangente folgt dem dargestellten Höhenmaßstab, während die numerischen Ableitungen die ursprüngliche Funktion verwenden.
  • Beim Gehen wird ein endlicher Schritt in Richtung des anfänglichen Einheitsgradienten ausgeführt und an der angezeigten Grenze des Definitionsbereichs abgeschnitten. Bei einem großen Schritt ist nicht garantiert, dass jede beliebige quadratische Funktion abnimmt.
  • Die Pfeillängen sind der Übersichtlichkeit halber begrenzt; verwenden Sie für die Beträge die numerischen Komponenten.

Im Unterricht ausprobieren

  1. Q1Warum kann der Gradient an einem Sattelpunkt null sein, obwohl dort kein Minimum vorliegt?
  2. Q2Warum ist die Richtungsableitung null, wenn eine Richtung tangential zu einer glatten Höhenlinie verläuft?

Häufig gestellte Fragen

Ist der Gradient selbst ein dreidimensionaler Tangentialpfeil?

Nein. Er ist ein Vektor im x-y-Bereich. Der blaue Pfeil hebt die gewählte Richtung im Definitionsbereich separat auf einen Tangentialvektor der dargestellten Fläche an.

Sind bei einem Gradienten von null alle Funktionswerte in der Nähe gleich?

Nein. Das bedeutet, dass die Änderung erster Ordnung an diesem Punkt verschwindet. Die Krümmung kann dennoch ein Minimum, Maximum oder einen Sattelpunkt erzeugen.