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Gradientes y mapas de contorno

UniversidadMatemáticasCampo escalar cuadrático analítico, gradiente exacto y derivada direccional con geometría de curvas de nivel muestreada

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Acerca de este experimento

Recorre una superficie cuadrática y compara su mapa de curvas de nivel, el gradiente en el dominio y la tangente direccional. Cambia los coeficientes para formar un cuenco, una silla de montar, una cresta o un campo plano, e inspecciona dónde se anula el gradiente.

Objetivos de aprendizaje

  • Calcula las componentes del gradiente de un campo escalar.
  • Compara una derivada direccional con la proyección del gradiente.
  • Relaciona la orientación de las curvas de nivel con la dirección local de ascenso más pronunciado.

Cómo usarlo

  1. 1Haz clic en la superficie y registra el gradiente en el nuevo punto de exploración.
  2. 2Avanza cuesta arriba y cuesta abajo siguiendo la dirección del gradiente en el punto inicial.
  3. 3Gira la dirección elegida en el dominio y compara su derivada direccional con la magnitud del gradiente.
  4. 4Crea un punto de silla y examina el gradiente nulo en su centro.

El modelo

Los coeficientes definen un campo escalar cuadrático general.
El gradiente pertenece al dominio bidimensional.
La derivada direccional máxima es igual a la magnitud del gradiente.

Supuestos

  • La función, el gradiente y la derivada direccional son analíticos. Las curvas de nivel se calculan mediante un algoritmo determinista de cuadrados marchantes sobre una cuadrícula muestreada.
  • La altura de la superficie se comprime según la escala de visualización indicada. La tangente azul sigue la escala de altura mostrada, mientras que las derivadas numéricas utilizan la función original.
  • El recorrido da un paso finito en la dirección del gradiente unitario inicial y se limita al llegar al borde mostrado del dominio. No se garantiza que un paso grande haga disminuir cualquier cuadrática.
  • La longitud de las flechas está limitada para facilitar la lectura; usa los componentes numéricos para consultar las magnitudes.

Pruébalo en clase

  1. Q1¿Por qué puede ser nulo el gradiente en un punto de silla, en vez de en un mínimo?
  2. Q2¿Por qué la derivada direccional es nula cuando una dirección es tangente a una curva de nivel suave?

Preguntas frecuentes

¿Es el gradiente en sí una flecha tangente tridimensional?

No. Es un vector en el dominio x-y. La flecha azul eleva por separado la dirección elegida en el dominio hasta un vector tangente a la gráfica mostrada.

¿Un gradiente nulo hace que todos los valores de la función cercanos sean iguales?

No. Significa que el cambio de primer orden se anula en ese punto. La curvatura aún puede producir un mínimo, un máximo o un punto de silla.