この実験について
二次曲面上を移動し、その等高線図、定義域上の勾配、方向に沿った接線を比較します。係数を変えて、ボウル、鞍点、尾根、または平坦な場を作り、勾配がゼロになる場所を調べましょう。
学習目標
- スカラー場から勾配の各成分を計算します。
- 方向微分と勾配の射影を比較します。
- 等高線の向きと、その地点で最も急な上昇方向との関係を調べます。
使い方
- 1曲面をクリックし、新しいプローブ位置での勾配を記録します。
- 2開始点での勾配の方向を使って、上り方向および下り方向に進みます。
- 3選択した領域方向に回転させ、その方向微分を勾配の大きさと比較します。
- 4鞍点を作成し、その中心で勾配がゼロになることを確認します。
モデル
前提条件
- 関数、勾配、方向微分は解析的に求められます。等高線は、サンプリングした格子上で決定論的なマーチング・スクエア法を用いて描画されます。
- 曲面の高さは、表示スケールとして示される倍率で圧縮されています。青い接線は表示上の高さスケールに従いますが、数値微分には元の関数が使われます。
- 歩行では、初期の単位勾配方向に有限の距離だけ進み、表示された領域の境界で止まります。大きなステップを取っても、あらゆる二次関数で値が減少するとは限りません。
- 見やすさのため矢印の長さには上限があります。大きさを確認するには数値成分を使ってください。
授業で試してみましょう
- Q1鞍点では、なぜ極小点ではなく勾配がゼロになるのでしょうか？
- Q2滑らかな等高線に接する方向では、なぜ方向微分がゼロになるのでしょうか？
よくある質問
勾配そのものは、3次元の接ベクトルなのですか？
いいえ。勾配は x-y 定義域上のベクトルです。青い矢印は、選んだ定義域の方向を、表示されたグラフの接ベクトルへ別途持ち上げたものです。
勾配がゼロなら、近くの関数値はすべて等しくなるのですか？
いいえ。その点で一次の変化がゼロになるという意味です。曲率によって、極小、極大、鞍点になることはあります。