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Gradients et cartes de courbes de niveau

UniversitéMathématiquesChamp scalaire quadratique analytique, gradient exact et dérivée directionnelle avec géométrie des courbes de niveau échantillonnée

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À propos de cette expérience

Parcourez une surface quadratique et comparez sa carte de courbes de niveau, le gradient dans le domaine et la tangente directionnelle. Modifiez les coefficients pour obtenir un bol, une selle, une crête ou un champ plat, et observez où le gradient s’annule.

Objectifs pédagogiques

  • Calculez les composantes du gradient d’un champ scalaire.
  • Comparez une dérivée directionnelle à la projection du gradient.
  • Reliez l’orientation des courbes de niveau à la direction locale de la plus forte montée.

Comment l’utiliser

  1. 1Cliquez sur la surface et relevez le gradient au nouveau point de mesure.
  2. 2Avancez en montée et en descente en suivant la direction du gradient au point de départ.
  3. 3Faites tourner la direction choisie dans le domaine et comparez sa dérivée directionnelle à la norme du gradient.
  4. 4Créez un point-selle et examinez le gradient nul en son centre.

Le modèle

Les coefficients définissent un champ scalaire quadratique général.
Le gradient appartient au domaine bidimensionnel.
La dérivée directionnelle maximale est égale à la norme du gradient.

Hypothèses

  • La fonction, le gradient et la dérivée directionnelle sont analytiques. Les courbes de niveau sont calculées à l’aide d’un algorithme déterministe de marching squares sur une grille échantillonnée.
  • La hauteur de la surface est comprimée selon l’échelle d’affichage indiquée. La tangente bleue suit l’échelle de hauteur affichée, tandis que les dérivées numériques utilisent la fonction d’origine.
  • Le parcours effectue un pas fini dans la direction du gradient unitaire initial et s’arrête à la limite affichée du domaine. Un grand pas ne garantit pas une diminution pour toute fonction quadratique.
  • La longueur des flèches est limitée pour faciliter la lecture ; utilisez les composantes numériques pour connaître les normes.

À essayer en classe

  1. Q1Pourquoi le gradient peut-il être nul en un point-selle plutôt qu’en un minimum ?
  2. Q2Pourquoi la dérivée directionnelle est-elle nulle lorsqu’une direction est tangente à une courbe de niveau lisse ?

Foire aux questions

Le gradient lui-même est-il une flèche tangente tridimensionnelle ?

Non. C’est un vecteur dans le domaine x-y. La flèche bleue relève séparément la direction choisie dans le domaine pour en faire un vecteur tangent au graphe affiché.

Un gradient nul signifie-t-il que toutes les valeurs de la fonction à proximité sont égales ?

Non. Cela signifie que la variation du premier ordre s’annule en ce point. La courbure peut tout de même produire un minimum, un maximum ou un point selle.