關於此實驗
在二次曲面上移動，並比較它的等高線圖、定義域梯度和方向切線。更改係數，產生碗形、鞍形、脊形或平坦場，並查看梯度在哪些位置為零。
學習目標
- 根據純量場計算梯度分量。
- 比較方向導數與梯度的投影。
- 了解等高線方向與局部最陡上升方向之間的關係。
使用方法
- 1點擊曲面，在新的探測點記錄梯度。
- 2沿起點處梯度所指的方向上坡或下坡移動。
- 3旋轉所選的定義域方向，並將該方向的方向導數與梯度大小進行比較。
- 4建立一個鞍點，並檢查其中心處梯度為零的情況。
模型
假設
- 函數、梯度和方向導數均為解析計算。等高線透過在取樣網格上確定性地執行 marching squares 演算法繪製。
- 曲面高度依據所報告的顯示比例進行壓縮。藍色切線遵循顯示的高度比例，而數值導數使用原始函數計算。
- 移動會沿初始單位梯度方向邁出有限的一步，並在顯示的定義域邊界處截停。較大的步長不一定能使所有可能的二次函數值都下降。
- 為了便於閱讀，箭頭長度設有上限；請使用數值分量查看大小。
在課堂上試試這個實驗
- Q1為什麼鞍點處的梯度可以為零，但該點卻不是極小值？
- Q2為什麼沿著與光滑等高線相切的方向，方向導數為零？
常見問題
梯度本身是三維的切向箭頭嗎？
不是。它是 x-y 定義域中的向量。藍色箭頭則將選定的定義域方向另外提升為所顯示圖形的切向量。
梯度為零，是否代表附近所有函數值都相等？
不是。這表示該點的一階變化為零。曲率仍可能使該點成為極小值、極大值或鞍點。