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梯度与等高线图

大学数学解析二次标量场、精确梯度与方向导数，以及采样得到的等高线几何形状

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关于此实验

在二次曲面上移动，并比较它的等高线图、定义域梯度和方向切线。更改系数，生成碗形、鞍形、脊形或平坦场，并查看梯度在哪些位置为零。

学习目标

  • 根据标量场计算梯度分量。
  • 比较方向导数与梯度的投影。
  • 了解等高线方向与局部最陡上升方向之间的关系。

使用方法

  1. 1点击曲面，在新的探测点记录梯度。
  2. 2沿起点处梯度所指的方向上坡或下坡移动。
  3. 3旋转所选的定义域方向，并将该方向的方向导数与梯度大小进行比较。
  4. 4创建一个鞍点，并检查其中心处梯度为零的情况。

模型

这些系数定义了一个一般的二次标量场。
梯度位于二维定义域中。
最大方向导数等于梯度的模。

假设

  • 函数、梯度和方向导数均为解析计算。等高线通过在采样网格上确定性地运行 marching squares 算法绘制。
  • 曲面高度按所报告的显示比例进行压缩。蓝色切线遵循显示的高度比例，而数值导数使用原始函数计算。
  • 移动会沿初始单位梯度方向迈出有限的一步，并在显示的定义域边界处截停。较大的步长不一定能使所有可能的二次函数值都下降。
  • 为便于阅读，箭头长度设有上限；请使用数值分量查看大小。

在课堂上试试这个实验

  1. Q1为什么鞍点处的梯度可以为零，而该点却不是极小值？
  2. Q2为什么沿着与光滑等高线相切的方向，方向导数为零？

常见问题

梯度本身是一个三维切向箭头吗？

不是。它是 x-y 定义域中的向量。蓝色箭头则将选定的定义域方向单独提升为所显示图形的切向量。

梯度为零，是否意味着附近所有函数值都相等？

不是。这意味着该点的一阶变化为零。曲率仍可能使该点成为极小值点、极大值点或鞍点。