Informazioni su questo esperimento
Muoviti su una superficie quadratica e confronta la sua mappa delle curve di livello, il gradiente nel dominio e la tangente direzionale. Modifica i coefficienti per ottenere una conca, una sella, un crinale o un campo piatto, e osserva dove il gradiente si annulla.
Obiettivi di apprendimento
- Calcola le componenti del gradiente di un campo scalare.
- Confronta una derivata direzionale con la proiezione del gradiente.
- Metti in relazione l’orientamento delle curve di livello con la direzione locale di massima salita.
Come si usa
- 1Fai clic sulla superficie e registra il gradiente nel nuovo punto di rilevamento.
- 2Procedi in salita e in discesa seguendo la direzione del gradiente nel punto iniziale.
- 3Ruota la direzione scelta nel dominio e confronta la sua derivata direzionale con il modulo del gradiente.
- 4Crea un punto di sella ed esamina il gradiente nullo al suo centro.
Il modello
Ipotesi
- La funzione, il gradiente e la derivata direzionale sono analitici. Le curve di livello sono calcolate con un algoritmo deterministico di marching squares su una griglia campionata.
- L’altezza della superficie è compressa secondo la scala di visualizzazione indicata. La tangente blu segue la scala delle altezze visualizzata, mentre le derivate numeriche utilizzano la funzione originale.
- Il percorso compie un passo finito nella direzione del gradiente unitario iniziale e si arresta al confine visualizzato del dominio. Un passo ampio non garantisce che una qualsiasi funzione quadratica diminuisca.
- La lunghezza delle frecce è limitata per facilitarne la lettura; per conoscere i moduli, usa le componenti numeriche.
Provalo in classe
- Q1Perché il gradiente può essere nullo in un punto di sella anziché in un minimo?
- Q2Perché la derivata direzionale è nulla quando una direzione è tangente a una curva di livello regolare?
Domande frequenti
Il gradiente stesso è una freccia tangente tridimensionale?
No. È un vettore nel dominio x-y. La freccia blu solleva separatamente la direzione scelta nel dominio fino a renderla tangente al grafico visualizzato.
Un gradiente nullo fa sì che tutti i valori della funzione nelle vicinanze siano uguali?
No. Significa che la variazione del primo ordine si annulla in quel punto. La curvatura può comunque produrre un minimo, un massimo o un punto di sella.