이 실험 소개
조제프 푸리에는 모든 주기 신호를 가장 낮은 주파수의 정수배 주파수를 가진 사인파로 만들 수 있음을 보였습니다. 급격한 점프가 있는 구형파는 진폭이 1, 1/3, 1/5 등으로 줄어드는 홀수 고조파로 이루어집니다. 고조파를 하나씩 더하며 합이 목표 신호에 가까워지는 모습을 살펴보세요. 같은 합을 회전하는 원들의 연결로 보거나, 소리가 점점 밝아지는 것을 듣고, 각 점프 근처에 끈질기게 남는 오버슈트인 깁스 현상도 알아볼 수 있습니다.
학습 목표
- 푸리에 계수를 사용해 주기 함수를 사인 고조파의 합으로 나타내기
- 구형파, 톱니파, 삼각파에 어떤 고조파가 포함되어 있는지와 진폭이 얼마나 빠르게 감소하는지 알아보기
- 부분합이 어떻게 수렴하는지, 그리고 매끄러운 파형에 고조파가 더 적게 필요한 이유 설명하기
- 점프 불연속점에서의 깁스 현상을 설명하세요
- 파동의 배음 성분과 음색의 관계를 설명하세요
사용 방법
- 1구형파를 선택하고 N = 1부터 시작하세요. N을 한 번에 1씩 늘려 9까지 진행하세요. 어떤 배음이 파형을 바꾸며, 어떤 배음은 아무런 변화도 주지 않나요?
- 2N을 50으로 설정하세요. 점프 부분을 자세히 살펴보세요. N이 커질수록 오버슈트가 줄어드나요? 크기를 읽어 보세요.
- 3삼각파로 전환하세요. RMS 오차를 0.01 미만으로 낮추려면 배음이 몇 개 필요한가요? 구형파와 비교하세요.
- 4회전하는 원으로 전환하세요. 원들이 어떻게 파동을 만들어 내는지 설명하세요.
- 5220 Hz에서 ‘듣기’를 누르고 N을 바꿔 보세요. 그런 다음 구형파, 톱니파, 삼각파를 귀로 비교하세요.
- 6‘직접 만들기’를 선택하고 막대를 드래그해 파동을 만들어 보세요. 다른 악기처럼 들리는 파동을 만들 수 있나요?
모델
가정
- 모든 파동은 주기가 2π이고 진폭이 1인 홀함수이므로 사인 항만 나타납니다.
- 계수는 샘플에서 계산한 값이 아니라 정확한 닫힌형식입니다. RMS 오차는 한 주기를 2000개 지점에서 샘플링해 구합니다.
- 기본 주파수 220 Hz에서 동일한 진폭으로 소리가 재생됩니다. 브라우저가 파동 전체의 음량을 조정하므로 N을 바꿔도 소리가 크게 커지거나 작아지지 않습니다.
수업에서 해 보기
- Q1구형파에는 왜 짝수 고조파가 없나요?
- Q2같은 정확도를 얻는 데 삼각파는 구형파보다 훨씬 적은 고조파만 필요합니다. 두 파동의 매끄러움 차이를 바탕으로 설명해 보세요.
- Q3고조파를 더 추가해도 구형파의 점프 부근에서 오버슈트가 사라지지 않는 이유는 무엇인가요?
- Q4클라리넷 소리에는 홀수 고조파가 풍부합니다. 세 파동 중 어느 파동과 가장 비슷한가요?
- Q5과거 전화선은 약 3400 Hz까지의 주파수를 전달했습니다. 220 Hz 구형파의 고조파는 몇 차까지 통과할까요?
자주 묻는 질문
고조파란 무엇인가요?
배음은 주파수가 기본 주파수의 정수배인 사인파입니다. 제1배음은 기본 주파수 자체이고, 제2배음은 주파수가 그 두 배이며, 이런 식으로 이어집니다.
깁스 현상이란 무엇인가요?
급격한 불연속점 부근에서 푸리에 급수의 부분합은 목표값을 불연속 폭의 약 9 %만큼 초과합니다. 배음이 많아지면 초과 폭은 좁아지고 불연속점에 더 가까워지지만, 그 높이는 그대로입니다.
회전하는 원들은 급수와 어떤 관계가 있나요?
각 항 b_k sin(kx)는 반지름이 |b_k|인 원 위의 점이 기본 속도의 k배로 움직일 때 그 점의 높이를 나타냅니다. 원들을 꼬리와 머리가 이어지도록 더하면 각 항의 합이 되고, 마지막 점의 높이가 부분합이 됩니다.