大學適用的數學模擬：傅立葉級數

關於此實驗

約瑟夫·傅立葉證明，任何週期訊號都可以由一組正弦波構成，這些正弦波的頻率是最低頻率的整數倍。方波具有突變，由奇次諧波組成，振幅依序為 1、1/3、1/5……。逐一加入諧波，觀察它們的和如何逐漸接近目標訊號；也可以將同一個和看作一串旋轉的圓，聆聽聲音如何變得更加明亮，並了解每個跳變附近頑強存在的過衝現象，也就是吉布斯現象。

學習目標

使用傅立葉係數將週期函數表示為正弦諧波之和
辨識方波、鋸齒波和三角波中包含哪些諧波，以及它們的振幅衰減得有多快
說明部分和如何收斂，以及為什麼平滑波形所需的諧波較少
描述跳躍不連續點處的吉布斯現象
說明波的諧波成分與音色之間的關係

使用方法

1從方波和 N = 1 開始。每次將 N 增加 1，直到 9。哪些諧波會改變圖像，哪些則不會？
2將 N 設為 50。仔細觀察跳躍處。隨著 N 增大，過衝會變小嗎？讀出它的大小。
3切換到三角波。要使 RMS 誤差低於 0.01，需要多少個諧波？與方波進行比較。
4切換到旋轉圓。解釋這些圓如何產生波形。
5在 220 Hz 下按下「聆聽」，並改變 N。然後用耳朵比較方波、鋸齒波和三角波。
6選擇「自訂」，拖曳滑桿來建構波形。你能做出聽起來像另一種樂器的波形嗎？

模型

f (x) = k = 1 \sum \infty b_{k} sin (k x), b_{k} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) sin (k x) d x

週期為 2π 的奇函數的傅立葉正弦級數

square: b_{k} = \frac{4}{π k} (k odd)

僅含奇次諧波，按 1/k 的規律衰減

sawtooth: b_{k} = \frac{2 ( - 1 ) ^{k + 1}}{π k}

包含所有諧波，按 1/k 的規律衰減

triangle: b_{k} = \frac{8 ( - 1 ) ^{(k - 1) /2}}{π ^{2} k ^{2}} (k odd)

僅含奇次諧波，按 1/k² 的規律衰減，因此級數收斂得快得多

max f_{N} \to 1.179 for the square wave

吉布斯現象：過衝趨近於跳躍幅度的約 9%，而且永遠不會消失

假設

所有波的週期都是 2π、振幅都是 1，並且都是奇函數，因此只包含正弦項。
係數是精確的閉式表達式，並非根據取樣點計算得出。RMS 誤差是透過對一個週期的 2000 個點進行取樣來求得。
聲音以 220 Hz 的基頻播放，且各波的振幅相同。瀏覽器會調整整個波形的響度，因此改變 N 不會讓聲音明顯變大或變小。

在課堂上試試這個實驗

Q1為什麼方波不含偶次諧波？
Q2要達到相同的精確度，三角波所需的諧波遠少於方波。請結合這兩種波形的平滑程度解釋原因。
Q3為什麼增加更多諧波也無法消除方波跳變附近的過衝？
Q4單簧管的聲音富含奇次諧波。它最像三種波中的哪一種？
Q5電話線路過去可以傳輸高達約 3400 Hz 的頻率。220 Hz 方波的多少次諧波能夠通過？

常見問題

什麼是諧波？

諧波是頻率為基頻整數倍的正弦波。第一諧波就是基頻本身；第二諧波的頻率是基頻的兩倍，以此類推。

什麼是吉布斯現象？

在突變跳躍附近，傅立葉級數的部分和會超出目標值約為跳躍幅度 9 % 的量。增加諧波後，超越範圍會變窄並更靠近跳躍點，但超越高度維持不變。

旋轉的圓與級數有什麼關係？

每一項 b_k sin(kx) 表示一個點在半徑為 |b_k| 的圓上以基本速度的 k 倍轉動時的高度。將這些圓首尾相接地相加，就相當於將各項相加，因此最後一個圓端點的高度就是部分和。