フーリエ級数シミュレーション

この実験について

ジョゼフ・フーリエは、周期的に繰り返す信号はどれも、最も低い周波数の整数倍の周波数を持つ正弦波から作れることを示しました。急激な段差を持つ方形波は、振幅が1、1/3、1/5……となる奇数次高調波で構成されます。高調波を一つずつ加えて、合計が目標に近づいていく様子を見てみましょう。同じ合計を回転する円の連なりとして見たり、音がだんだん明るくなるのを聴いたり、各段差の近くに頑固に残るオーバーシュート（ギブズ現象）を確かめたりできます。

学習目標

フーリエ係数を使って、周期関数を正弦高調波の和として表す
方形波、のこぎり波、三角波にどの高調波が含まれているか、また振幅がどれほど速く減少するかを見分ける
部分和がどのように収束するか、また滑らかな波に必要な高調波が少ない理由を説明する
跳躍不連続点におけるギブズ現象を説明してください
波の倍音成分と音色の関係を説明してください

使い方

1矩形波を選び、N = 1から始めます。Nを1ずつ増やして9まで進めてください。どの倍音が波形を変え、どの倍音は変化をもたらしませんか？
2Nを50に設定します。跳躍部分をよく見てください。Nが大きくなるにつれて、オーバーシュートは小さくなりますか？その大きさを読み取ってください。
3三角波に切り替えます。RMS誤差を0.01未満にするには、倍音がいくつ必要ですか？矩形波と比べてください。
4「回転する円」に切り替えます。円がどのように波を生み出すのか説明してください。
5220 Hzで「聴く」を押し、Nを変えてください。その後、矩形波、のこぎり波、三角波を聴き比べてください。
6「自由に作成」を選び、バーをドラッグして波を作りましょう。別の楽器のような音がする波を作れますか？

モデル

f (x) = k = 1 \sum \infty b_{k} sin (k x), b_{k} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) sin (k x) d x

周期2πの奇関数のフーリエ正弦級数

square: b_{k} = \frac{4}{π k} (k odd)

奇数次の倍音のみで、振幅は1/kの割合で減少

sawtooth: b_{k} = \frac{2 ( - 1 ) ^{k + 1}}{π k}

すべての倍音を含み、振幅は1/kの割合で減少

triangle: b_{k} = \frac{8 ( - 1 ) ^{(k - 1) /2}}{π ^{2} k ^{2}} (k odd)

奇数次の倍音のみで、振幅は1/k²の割合で減少するため、級数ははるかに速く収束します

max f_{N} \to 1.179 for the square wave

ギブズ現象：オーバーシュートは跳躍幅の約9%に近づき、決してなくなりません

前提条件

すべての波は周期が 2π、振幅が 1 の奇関数なので、正弦項だけが現れます。
係数はサンプルから計算したものではなく、厳密な閉形式です。RMS誤差は、1周期を2000点でサンプリングして求めます。
基本周波数220 Hzで、同じ振幅の音が再生されます。ブラウザーは波全体の音量を調整するため、Nを変えても音が大幅に大きくなったり小さくなったりすることはありません。

授業で試してみましょう

Q1方形波に偶数次高調波が含まれないのはなぜですか？
Q2同じ精度を得るのに、三角波は方形波よりもはるかに少ない高調波で済みます。2つの波の滑らかさの違いを踏まえて説明してください。
Q3高調波をさらに加えても、方形波の跳躍付近のオーバーシュートがなくならないのはなぜですか？
Q4クラリネットの音は奇数次高調波が豊富です。3つの波のうち、最もよく似ているのはどれですか？
Q5かつて電話回線では約3400 Hzまでの周波数が伝送されていました。220 Hzの方形波の高調波は、何次まで通過するでしょうか？

よくある質問

高調波とは何ですか？

倍音とは、周波数が基本周波数の整数倍である正弦波です。第1倍音は基本周波数そのもので、第2倍音はその2倍の周波数を持ち、以下同様です。

ギブス現象とは何ですか？

急激な不連続点の近くでは、フーリエ級数の部分和が目標値を不連続幅のおよそ9 %だけ上回ります。倍音を増やすと、このオーバーシュートの幅は狭くなり、不連続点に近づきますが、高さは変わりません。

回転する円は級数とどのように関係していますか？

各項 b_k sin(kx) は、半径 |b_k| の円上を基本速度の k 倍の速さで動く点の高さを表します。円を先端と末端がつながるように足し合わせると各項の和になり、最後の点の高さが部分和になります。