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Fourier-Reihen

UniversitätMathematikPartielle Fourier-Summen f_N(x) = Σ b_k sin(kx) mit exakten Koeffizienten für Standardwellen

Über dieses Experiment

Joseph Fourier zeigte, dass sich jedes periodische Signal aus Sinuswellen zusammensetzen lässt, deren Frequenzen ganzzahlige Vielfache der niedrigsten Frequenz sind. Eine Rechteckwelle mit ihren abrupten Sprüngen besteht aus den ungeraden Harmonischen mit den Amplituden 1, 1/3, 1/5 und so weiter. Füge die Harmonischen nacheinander hinzu und beobachte, wie sich die Summe dem Ziel annähert. Sieh dir dieselbe Summe als Kette rotierender Kreise an, höre, wie der Klang heller wird, und entdecke das hartnäckige Überschwingen an jedem Sprung, das als Gibbs-Phänomen bekannt ist.

Lernziele

  • Eine periodische Funktion als Summe von Sinus-Harmonischen mit Fourier-Koeffizienten schreiben
  • Erkennen, welche Harmonischen in Rechteck-, Sägezahn- und Dreieckwellen vorkommen und wie schnell ihre Amplituden abnehmen
  • Erklären, wie die Partialsummen konvergieren und warum glatte Wellen weniger Harmonische benötigen
  • Beschreibe das Gibbs-Phänomen an einer Sprungstelle
  • Setze den Oberwellengehalt einer Welle mit ihrer Klangfarbe in Beziehung

Anleitung

  1. 1Beginne mit der Rechteckwelle und N = 1. Erhöhe N schrittweise bis auf 9. Welche Harmonischen verändern das Bild und welche bewirken nichts?
  2. 2Setze N auf 50. Betrachte die Sprungstellen genau. Wird das Überschwingen kleiner, wenn N wächst? Lies seine Größe ab.
  3. 3Wechsle zur Dreieckwelle. Wie viele Harmonische brauchst du, damit der RMS-Fehler unter 0,01 liegt? Vergleiche das mit der Rechteckwelle.
  4. 4Wechsle zu „Rotierende Kreise“. Erkläre, wie die Kreise die Welle erzeugen.
  5. 5Drücke bei 220 Hz auf „Anhören“ und ändere N. Vergleiche dann die Rechteck-, Sägezahn- und Dreieckwellen nach Gehör.
  6. 6Wähle „Eigene erstellen“ und ziehe die Balken, um eine Welle zu erzeugen. Kannst du eine Welle erstellen, die wie ein anderes Instrument klingt?

Das Modell

Fourier-Sinusreihe einer ungeraden Funktion mit Periode 2π
Nur ungerade Harmonische, die wie 1/k abfallen
Alle Harmonischen, die wie 1/k abfallen
Nur ungerade Harmonische, die wie 1/k² abfallen, sodass die Summe viel schneller konvergiert
Gibbs-Phänomen: Das Überschwingen nähert sich etwa 9 % der Sprunghöhe an und verschwindet nie

Annahmen

  • Alle Wellen haben eine Periode von 2π und eine Amplitude von 1 und sind ungerade Funktionen, daher treten nur Sinusterme auf.
  • Die Koeffizienten sind exakte geschlossene Formen und werden nicht aus Stichproben berechnet. Der RMS-Fehler wird ermittelt, indem eine Periode an 2000 Punkten abgetastet wird.
  • Der Klang spielt dieselben Amplituden bei einer Grundfrequenz von 220 Hz ab. Der Browser skaliert die Lautstärke der gesamten Welle, sodass eine Änderung von N sie nicht wesentlich lauter oder leiser macht.

Im Unterricht ausprobieren

  1. Q1Warum enthält die Rechteckwelle keine geraden Harmonischen?
  2. Q2Für dieselbe Genauigkeit benötigt die Dreieckwelle deutlich weniger Harmonische als die Rechteckwelle. Erkläre dies damit, wie glatt die beiden Wellen sind.
  3. Q3Warum verschwindet die Überschwingung nahe den Sprüngen der Rechteckwelle nicht, wenn man weitere Harmonische hinzufügt?
  4. Q4Ein Klarinettenklang ist reich an ungeraden Harmonischen. Welcher der drei Wellen ähnelt er am meisten?
  5. Q5Telefonleitungen übertrugen früher Frequenzen bis zu etwa 3400 Hz. Wie viele Harmonische einer Rechteckwelle mit 220 Hz würden durchgelassen?

Häufig gestellte Fragen

Was ist eine Harmonische?

Eine Harmonische ist eine Sinuswelle, deren Frequenz ein ganzzahliges Vielfaches der Grundfrequenz ist. Die erste Harmonische ist die Grundschwingung selbst; die zweite hat die doppelte Frequenz und so weiter.

Was ist das Gibbs-Phänomen?

In der Nähe eines plötzlichen Sprungs überschreiten die Partialsummen einer Fourier-Reihe den Zielwert um etwa 9 % der Sprunghöhe. Mit mehr Harmonischen wird die Überschwingung schmaler und rückt näher an den Sprung heran, ihre Höhe bleibt jedoch gleich.

Wie hängen die rotierenden Kreise mit der Reihe zusammen?

Jeder Term b_k sin(kx) entspricht der Höhe eines Punktes, der sich mit k-facher Grundgeschwindigkeit auf einem Kreis mit dem Radius |b_k| bewegt. Addiert man die Kreise Spitze an Spitze, werden die Terme addiert; die Höhe der letzten Spitze ist somit die Partialsumme.