Simulation de Séries de Fourier

À propos de cette expérience

Joseph Fourier a montré que tout signal périodique peut être composé d’ondes sinusoïdales dont les fréquences sont des multiples entiers de la plus basse. Une onde carrée, avec ses sauts brusques, est composée des harmoniques impaires, d’amplitudes 1, 1/3, 1/5, et ainsi de suite. Ajoutez les harmoniques une à une et observez la somme se rapprocher de la cible. Visualisez cette même somme comme une chaîne de cercles en rotation, écoutez le son devenir plus brillant et découvrez le dépassement persistant près de chaque saut, connu sous le nom de phénomène de Gibbs.

Objectifs pédagogiques

Écrire une fonction périodique comme une somme d’harmoniques sinusoïdales avec des coefficients de Fourier
Reconnaître les harmoniques présentes dans les ondes carrées, en dents de scie et triangulaires, et la vitesse à laquelle leurs amplitudes diminuent
Expliquer comment la somme partielle converge et pourquoi les ondes lisses nécessitent moins d’harmoniques
Décrivez le phénomène de Gibbs au niveau d’une discontinuité de saut
Reliez le contenu harmonique d’une onde à son timbre

Comment l’utiliser

1Commencez par l’onde carrée avec N = 1. Augmentez N d’une unité à la fois jusqu’à 9. Quelles harmoniques changent la forme et lesquelles ne font rien ?
2Réglez N sur 50. Observez attentivement les sauts. Le dépassement diminue-t-il lorsque N augmente ? Lisez sa valeur.
3Passez à l’onde triangulaire. De combien d’harmoniques avez-vous besoin pour que l’erreur RMS soit inférieure à 0,01 ? Comparez avec l’onde carrée.
4Passez aux « Cercles en rotation ». Expliquez comment les cercles produisent l’onde.
5Appuyez sur « Écouter » à 220 Hz et modifiez N. Comparez ensuite à l’oreille les ondes carrée, en dent de scie et triangulaire.
6Choisissez « Personnalisée » et faites glisser les barres pour créer une onde. Pouvez-vous en créer une qui ressemble au son d’un autre instrument ?

Le modèle

f (x) = k = 1 \sum \infty b_{k} sin (k x), b_{k} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) sin (k x) d x

Série de Fourier en sinus d’une fonction impaire de période 2π

square: b_{k} = \frac{4}{π k} (k odd)

Uniquement des harmoniques impaires, décroissant comme 1/k

sawtooth: b_{k} = \frac{2 ( - 1 ) ^{k + 1}}{π k}

Toutes les harmoniques, décroissant comme 1/k

triangle: b_{k} = \frac{8 ( - 1 ) ^{(k - 1) /2}}{π ^{2} k ^{2}} (k odd)

Uniquement des harmoniques impaires, décroissant comme 1/k², de sorte que la somme converge beaucoup plus rapidement

max f_{N} \to 1.179 for the square wave

Phénomène de Gibbs : le dépassement tend vers environ 9 % du saut et ne disparaît jamais

Hypothèses

Toutes les ondes ont une période de 2π et une amplitude de 1, et sont des fonctions impaires ; seuls des termes sinus apparaissent donc.
Les coefficients sont des formes fermées exactes, et ne sont pas calculés à partir d’échantillons. L’erreur RMS est déterminée en échantillonnant une période en 2000 points.
Le son joue les mêmes amplitudes avec une fréquence fondamentale de 220 Hz. Le navigateur ajuste le volume de l’onde entière, de sorte que modifier N ne la rend pas beaucoup plus forte ni beaucoup plus faible.

À essayer en classe

Q1Pourquoi l’onde carrée ne contient-elle pas d’harmoniques paires ?
Q2Pour une même précision, l’onde triangulaire nécessite bien moins d’harmoniques que l’onde carrée. Explique cela en fonction de la régularité des deux ondes.
Q3Pourquoi l’ajout d’harmoniques ne supprime-t-il pas le dépassement près des discontinuités de l’onde carrée ?
Q4Le son d’une clarinette est riche en harmoniques impaires. À laquelle des trois ondes ressemble-t-il le plus ?
Q5Autrefois, les lignes téléphoniques transmettaient des fréquences allant jusqu’à environ 3400 Hz. Combien d’harmoniques d’une onde carrée de 220 Hz seraient transmises ?

Foire aux questions

Qu’est-ce qu’une harmonique ?

Une harmonique est une onde sinusoïdale dont la fréquence est un multiple entier de la fréquence fondamentale. La première harmonique est la fondamentale elle-même ; la deuxième a une fréquence deux fois plus élevée, et ainsi de suite.

Qu’est-ce que le phénomène de Gibbs ?

À proximité d’un saut brusque, les sommes partielles d’une série de Fourier dépassent la valeur cible d’environ 9 % de l’amplitude du saut. Avec davantage d’harmoniques, le dépassement devient plus étroit et se rapproche du saut, mais sa hauteur reste la même.

Quel est le lien entre les cercles en rotation et la série ?

Chaque terme b_k sin(kx) correspond à la hauteur d’un point qui tourne autour d’un cercle de rayon |b_k| à k fois la vitesse de base. Additionner les cercles bout à bout revient à additionner les termes ; la hauteur de l’extrémité du dernier cercle est donc la somme partielle.