大学适用的数学模拟：傅里叶级数

关于此实验

约瑟夫·傅里叶证明，任何周期信号都可以由一组正弦波构成，这些正弦波的频率是最低频率的整数倍。方波具有突变，它由奇次谐波组成，振幅依次为 1、1/3、1/5……。逐个添加谐波，观察它们的和如何逐渐接近目标信号；也可以将同一个和看作一串旋转的圆，聆听声音如何变得更加明亮，并了解每个跳变附近顽固存在的过冲现象，即吉布斯现象。

学习目标

使用傅里叶系数将周期函数表示为正弦谐波之和
识别方波、锯齿波和三角波中包含哪些谐波，以及它们的振幅衰减得有多快
说明部分和如何收敛，以及为什么平滑波形所需的谐波更少
描述跳跃不连续点处的吉布斯现象
说明波的谐波成分与音色之间的关系

使用方法

1从方波和 N = 1 开始。每次将 N 增加 1，直到 9。哪些谐波会改变图像，哪些则不会？
2将 N 设为 50。仔细观察跳跃处。随着 N 增大，过冲会变小吗？读出它的大小。
3切换到三角波。要使 RMS 误差低于 0.01，需要多少个谐波？与方波进行比较。
4切换到旋转圆。解释这些圆如何生成波形。
5在 220 Hz 下点击“试听”，并改变 N。然后用耳朵比较方波、锯齿波和三角波。
6选择“自定义”，拖动滑块来构造波形。你能做出听起来像另一种乐器的波形吗？

模型

f (x) = k = 1 \sum \infty b_{k} sin (k x), b_{k} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) sin (k x) d x

周期为 2π 的奇函数的傅里叶正弦级数

square: b_{k} = \frac{4}{π k} (k odd)

仅含奇次谐波，按 1/k 的规律衰减

sawtooth: b_{k} = \frac{2 ( - 1 ) ^{k + 1}}{π k}

包含所有谐波，按 1/k 的规律衰减

triangle: b_{k} = \frac{8 ( - 1 ) ^{(k - 1) /2}}{π ^{2} k ^{2}} (k odd)

仅含奇次谐波，按 1/k² 的规律衰减，因此级数收敛得快得多

max f_{N} \to 1.179 for the square wave

吉布斯现象：过冲趋近于跳跃幅度的约 9%，并且永远不会消失

假设

所有波的周期都是 2π、振幅都是 1，并且都是奇函数，因此只包含正弦项。
系数是精确的闭式表达式，并非根据采样点计算得出。RMS 误差通过对一个周期的 2000 个点进行采样来求得。
声音以 220 Hz 的基频播放，且各波的振幅相同。浏览器会调整整个波形的响度，因此改变 N 不会让声音明显变大或变小。

在课堂上试试这个实验

Q1为什么方波不含偶次谐波？
Q2要达到相同的精度，三角波所需的谐波远少于方波。请结合这两种波形的平滑程度解释原因。
Q3为什么增加更多谐波也无法消除方波跳变附近的过冲？
Q4单簧管的声音富含奇次谐波。它最像三种波中的哪一种？
Q5电话线路过去可以传输高达约 3400 Hz 的频率。220 Hz 方波的多少次谐波能够通过？

常见问题

什么是谐波？

谐波是频率为基频整数倍的正弦波。第一谐波就是基频本身；第二谐波的频率是基频的两倍，以此类推。

什么是吉布斯现象？

在突变跳跃附近，傅里叶级数的部分和会超出目标值约为跳跃幅度 9 % 的量。增加谐波后，超调范围会变窄并更靠近跳跃点，但超调高度保持不变。

旋转的圆与级数有什么关系？

每一项 b_k sin(kx) 表示一个点在半径为 |b_k| 的圆上以基本速度的 k 倍转动时的高度。将这些圆首尾相接地相加，就相当于将各项相加，因此最后一个圆端点的高度就是部分和。