Simulación de Series de Fourier

Acerca de este experimento

Joseph Fourier demostró que cualquier señal periódica puede construirse a partir de ondas sinusoidales cuyas frecuencias son múltiplos enteros de la más baja. Una onda cuadrada, con sus saltos repentinos, está formada por los armónicos impares, con amplitudes de 1, 1/3, 1/5, y así sucesivamente. Añade los armónicos uno a uno y observa cómo la suma se acerca al objetivo; contempla esa misma suma como una cadena de círculos giratorios, escucha cómo el sonido se vuelve más brillante y descubre el persistente sobreimpulso cerca de cada salto, conocido como fenómeno de Gibbs.

Objetivos de aprendizaje

Escribir una función periódica como una suma de armónicos sinusoidales con coeficientes de Fourier
Reconocer qué armónicos están presentes en las ondas cuadradas, de diente de sierra y triangulares, y con qué rapidez disminuyen sus amplitudes
Explicar cómo converge la suma parcial y por qué las ondas suaves necesitan menos armónicos
Describe el fenómeno de Gibbs en una discontinuidad de salto
Relaciona el contenido armónico de una onda con su timbre

Cómo usarlo

1Empieza con la onda cuadrada y N = 1. Aumenta N de uno en uno hasta llegar a 9. ¿Qué armónicos cambian la imagen y cuáles no hacen nada?
2Ajusta N a 50. Observa de cerca los saltos. ¿Disminuye el sobreimpulso al aumentar N? Lee su valor.
3Cambia a la onda triangular. ¿Cuántos armónicos necesitas para que el error RMS sea inferior a 0,01? Compáralo con la onda cuadrada.
4Cambia a «Círculos giratorios». Explica cómo los círculos producen la onda.
5Pulsa «Escuchar» a 220 Hz y cambia N. Después, compara de oído las ondas cuadrada, de diente de sierra y triangular.
6Elige «Personalizada» y arrastra las barras para crear una onda. ¿Puedes crear una que suene como otro instrumento?

El modelo

f (x) = k = 1 \sum \infty b_{k} sin (k x), b_{k} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) sin (k x) d x

Serie de Fourier de senos de una función impar de período 2π

square: b_{k} = \frac{4}{π k} (k odd)

Solo armónicos impares, que decrecen como 1/k

sawtooth: b_{k} = \frac{2 ( - 1 ) ^{k + 1}}{π k}

Todos los armónicos, que decrecen como 1/k

triangle: b_{k} = \frac{8 ( - 1 ) ^{(k - 1) /2}}{π ^{2} k ^{2}} (k odd)

Solo armónicos impares, que decrecen como 1/k², por lo que la suma converge mucho más rápido

max f_{N} \to 1.179 for the square wave

Fenómeno de Gibbs: el sobreimpulso tiende a aproximadamente el 9 % del salto y nunca desaparece

Supuestos

Todas las ondas tienen un período de 2π y una amplitud de 1, y son funciones impares, por lo que solo aparecen términos seno.
Los coeficientes son formas cerradas exactas, no se calculan a partir de muestras. El error RMS se obtiene muestreando un período en 2000 puntos.
El sonido reproduce las mismas amplitudes con una frecuencia fundamental de 220 Hz. El navegador escala el volumen de toda la onda, por lo que cambiar N no hace que suene mucho más alto ni mucho más bajo.

Pruébalo en clase

Q1¿Por qué la onda cuadrada no contiene armónicos pares?
Q2La onda triangular necesita muchos menos armónicos que la onda cuadrada para alcanzar la misma precisión. Explica esto teniendo en cuenta lo suaves que son ambas ondas.
Q3¿Por qué añadir más armónicos no elimina la sobreoscilación cerca de los saltos de la onda cuadrada?
Q4El sonido de un clarinete es rico en armónicos impares. ¿A cuál de las tres ondas se parece más?
Q5Las líneas telefónicas transmitían antiguamente frecuencias de hasta unos 3400 Hz. ¿Cuántos armónicos de una onda cuadrada de 220 Hz pasarían?

Preguntas frecuentes

¿Qué es un armónico?

Un armónico es una onda sinusoidal cuya frecuencia es un múltiplo entero de la frecuencia fundamental. El primer armónico es la propia fundamental; el segundo tiene el doble de frecuencia, y así sucesivamente.

¿Qué es el fenómeno de Gibbs?

Cerca de un salto brusco, las sumas parciales de una serie de Fourier sobrepasan el valor objetivo en aproximadamente un 9 % de la magnitud del salto. Al añadir más armónicos, el sobrepaso se vuelve más estrecho y se acerca al salto, pero su altura permanece igual.

¿Qué relación tienen los círculos giratorios con la serie?

Cada término b_k sin(kx) representa la altura de un punto que se mueve alrededor de un círculo de radio |b_k| a k veces la velocidad básica. Al sumar los círculos, uniendo sus extremos, se suman los términos; así, la altura del último extremo es la suma parcial.