Simulazione di Serie di Fourier

Informazioni su questo esperimento

Joseph Fourier dimostrò che qualsiasi segnale periodico può essere costruito a partire da onde sinusoidali le cui frequenze sono multipli interi della più bassa. Un’onda quadra, con i suoi salti improvvisi, è composta dalle armoniche dispari, con ampiezze 1, 1/3, 1/5 e così via. Aggiungi le armoniche una alla volta e osserva la somma avvicinarsi all’obiettivo; visualizza la stessa somma come una catena di cerchi rotanti, ascolta il suono diventare più brillante e scopri la persistente sovraelongazione vicino a ogni salto, nota come fenomeno di Gibbs.

Obiettivi di apprendimento

Scrivere una funzione periodica come somma di armoniche sinusoidali con coefficienti di Fourier
Riconoscere quali armoniche sono presenti nelle onde quadre, a dente di sega e triangolari e quanto rapidamente diminuiscono le loro ampiezze
Spiegare come converge la somma parziale e perché le onde regolari richiedono meno armoniche
Descrivi il fenomeno di Gibbs in corrispondenza di una discontinuità a salto
Metti in relazione il contenuto armonico di un’onda con il suo timbro

Come si usa

1Inizia con l’onda quadra e N = 1. Aumenta N di un’unità alla volta fino a 9. Quali armoniche cambiano la forma e quali non hanno effetto?
2Imposta N a 50. Osserva attentamente i salti. La sovraelongazione diminuisce all’aumentare di N? Leggine il valore.
3Passa all’onda triangolare. Di quante armoniche hai bisogno perché l’errore RMS sia inferiore a 0,01? Confrontala con l’onda quadra.
4Passa a «Cerchi rotanti». Spiega come i cerchi producono l’onda.
5Premi «Ascolta» a 220 Hz e modifica N. Poi confronta a orecchio le onde quadra, a dente di sega e triangolare.
6Scegli «Personalizzata» e trascina le barre per creare un’onda. Riesci a crearne una che suoni come uno strumento diverso?

Il modello

f (x) = k = 1 \sum \infty b_{k} sin (k x), b_{k} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) sin (k x) d x

Serie di Fourier in seni di una funzione dispari di periodo 2π

square: b_{k} = \frac{4}{π k} (k odd)

Solo armoniche dispari, che decrescono come 1/k

sawtooth: b_{k} = \frac{2 ( - 1 ) ^{k + 1}}{π k}

Tutte le armoniche, che decrescono come 1/k

triangle: b_{k} = \frac{8 ( - 1 ) ^{(k - 1) /2}}{π ^{2} k ^{2}} (k odd)

Solo armoniche dispari, che decrescono come 1/k², quindi la somma converge molto più rapidamente

max f_{N} \to 1.179 for the square wave

Fenomeno di Gibbs: la sovraelongazione tende a circa il 9 % dell’ampiezza del salto e non scompare mai

Ipotesi

Tutte le onde hanno un periodo di 2π e un’ampiezza di 1 e sono funzioni dispari, quindi compaiono solo termini sinusoidali.
I coefficienti sono forme chiuse esatte, non calcolate a partire da campioni. L’errore RMS si determina campionando un periodo in 2000 punti.
Il suono riproduce le stesse ampiezze con una frequenza fondamentale di 220 Hz. Il browser scala il volume dell’intera onda, quindi modificare N non la rende molto più alta o più bassa.

Provalo in classe

Q1Perché l’onda quadra non contiene armoniche pari?
Q2A parità di accuratezza, l’onda triangolare richiede molte meno armoniche dell’onda quadra. Spiega questo in termini di quanto sono regolari le due onde.
Q3Perché aggiungere altre armoniche non elimina il sovraelongamento in prossimità dei salti dell’onda quadra?
Q4Il suono di un clarinetto è ricco di armoniche dispari. A quale delle tre onde assomiglia di più?
Q5Un tempo le linee telefoniche trasmettevano frequenze fino a circa 3400 Hz. Quante armoniche di un’onda quadra a 220 Hz riuscirebbero a passare?

Domande frequenti

Che cos’è un’armonica?

Un'armonica è un'onda sinusoidale la cui frequenza è un multiplo intero della frequenza fondamentale. La prima armonica è la fondamentale stessa; la seconda ha una frequenza doppia, e così via.

Che cos'è il fenomeno di Gibbs?

Vicino a un salto brusco, le somme parziali di una serie di Fourier superano il valore obiettivo di circa il 9 % dell'ampiezza del salto. Con più armoniche, il superamento diventa più stretto e si avvicina al salto, ma la sua altezza rimane invariata.

Che relazione c'è tra i cerchi rotanti e la serie?

Ogni termine b_k sin(kx) corrisponde all'altezza di un punto che si muove lungo un cerchio di raggio |b_k| a una velocità k volte quella di base. Sommando i cerchi punta a punta si sommano i termini, perciò l'altezza dell'ultima punta è la somma parziale.